-0,000 282 005 916 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 54| = 0,000 282 005 916 54


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 54 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 08;
  • 2) 0,000 564 011 833 08 × 2 = 0 + 0,001 128 023 666 16;
  • 3) 0,001 128 023 666 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 332 32;
  • 4) 0,002 256 047 332 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 664 64;
  • 5) 0,004 512 094 664 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 329 28;
  • 6) 0,009 024 189 329 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 658 56;
  • 7) 0,018 048 378 658 56 × 2 = 0 + 0,036 096 757 317 12;
  • 8) 0,036 096 757 317 12 × 2 = 0 + 0,072 193 514 634 24;
  • 9) 0,072 193 514 634 24 × 2 = 0 + 0,144 387 029 268 48;
  • 10) 0,144 387 029 268 48 × 2 = 0 + 0,288 774 058 536 96;
  • 11) 0,288 774 058 536 96 × 2 = 0 + 0,577 548 117 073 92;
  • 12) 0,577 548 117 073 92 × 2 = 1 + 0,155 096 234 147 84;
  • 13) 0,155 096 234 147 84 × 2 = 0 + 0,310 192 468 295 68;
  • 14) 0,310 192 468 295 68 × 2 = 0 + 0,620 384 936 591 36;
  • 15) 0,620 384 936 591 36 × 2 = 1 + 0,240 769 873 182 72;
  • 16) 0,240 769 873 182 72 × 2 = 0 + 0,481 539 746 365 44;
  • 17) 0,481 539 746 365 44 × 2 = 0 + 0,963 079 492 730 88;
  • 18) 0,963 079 492 730 88 × 2 = 1 + 0,926 158 985 461 76;
  • 19) 0,926 158 985 461 76 × 2 = 1 + 0,852 317 970 923 52;
  • 20) 0,852 317 970 923 52 × 2 = 1 + 0,704 635 941 847 04;
  • 21) 0,704 635 941 847 04 × 2 = 1 + 0,409 271 883 694 08;
  • 22) 0,409 271 883 694 08 × 2 = 0 + 0,818 543 767 388 16;
  • 23) 0,818 543 767 388 16 × 2 = 1 + 0,637 087 534 776 32;
  • 24) 0,637 087 534 776 32 × 2 = 1 + 0,274 175 069 552 64;
  • 25) 0,274 175 069 552 64 × 2 = 0 + 0,548 350 139 105 28;
  • 26) 0,548 350 139 105 28 × 2 = 1 + 0,096 700 278 210 56;
  • 27) 0,096 700 278 210 56 × 2 = 0 + 0,193 400 556 421 12;
  • 28) 0,193 400 556 421 12 × 2 = 0 + 0,386 801 112 842 24;
  • 29) 0,386 801 112 842 24 × 2 = 0 + 0,773 602 225 684 48;
  • 30) 0,773 602 225 684 48 × 2 = 1 + 0,547 204 451 368 96;
  • 31) 0,547 204 451 368 96 × 2 = 1 + 0,094 408 902 737 92;
  • 32) 0,094 408 902 737 92 × 2 = 0 + 0,188 817 805 475 84;
  • 33) 0,188 817 805 475 84 × 2 = 0 + 0,377 635 610 951 68;
  • 34) 0,377 635 610 951 68 × 2 = 0 + 0,755 271 221 903 36;
  • 35) 0,755 271 221 903 36 × 2 = 1 + 0,510 542 443 806 72;
  • 36) 0,510 542 443 806 72 × 2 = 1 + 0,021 084 887 613 44;
  • 37) 0,021 084 887 613 44 × 2 = 0 + 0,042 169 775 226 88;
  • 38) 0,042 169 775 226 88 × 2 = 0 + 0,084 339 550 453 76;
  • 39) 0,084 339 550 453 76 × 2 = 0 + 0,168 679 100 907 52;
  • 40) 0,168 679 100 907 52 × 2 = 0 + 0,337 358 201 815 04;
  • 41) 0,337 358 201 815 04 × 2 = 0 + 0,674 716 403 630 08;
  • 42) 0,674 716 403 630 08 × 2 = 1 + 0,349 432 807 260 16;
  • 43) 0,349 432 807 260 16 × 2 = 0 + 0,698 865 614 520 32;
  • 44) 0,698 865 614 520 32 × 2 = 1 + 0,397 731 229 040 64;
  • 45) 0,397 731 229 040 64 × 2 = 0 + 0,795 462 458 081 28;
  • 46) 0,795 462 458 081 28 × 2 = 1 + 0,590 924 916 162 56;
  • 47) 0,590 924 916 162 56 × 2 = 1 + 0,181 849 832 325 12;
  • 48) 0,181 849 832 325 12 × 2 = 0 + 0,363 699 664 650 24;
  • 49) 0,363 699 664 650 24 × 2 = 0 + 0,727 399 329 300 48;
  • 50) 0,727 399 329 300 48 × 2 = 1 + 0,454 798 658 600 96;
  • 51) 0,454 798 658 600 96 × 2 = 0 + 0,909 597 317 201 92;
  • 52) 0,909 597 317 201 92 × 2 = 1 + 0,819 194 634 403 84;
  • 53) 0,819 194 634 403 84 × 2 = 1 + 0,638 389 268 807 68;
  • 54) 0,638 389 268 807 68 × 2 = 1 + 0,276 778 537 615 36;
  • 55) 0,276 778 537 615 36 × 2 = 0 + 0,553 557 075 230 72;
  • 56) 0,553 557 075 230 72 × 2 = 1 + 0,107 114 150 461 44;
  • 57) 0,107 114 150 461 44 × 2 = 0 + 0,214 228 300 922 88;
  • 58) 0,214 228 300 922 88 × 2 = 0 + 0,428 456 601 845 76;
  • 59) 0,428 456 601 845 76 × 2 = 0 + 0,856 913 203 691 52;
  • 60) 0,856 913 203 691 52 × 2 = 1 + 0,713 826 407 383 04;
  • 61) 0,713 826 407 383 04 × 2 = 1 + 0,427 652 814 766 08;
  • 62) 0,427 652 814 766 08 × 2 = 0 + 0,855 305 629 532 16;
  • 63) 0,855 305 629 532 16 × 2 = 1 + 0,710 611 259 064 32;
  • 64) 0,710 611 259 064 32 × 2 = 1 + 0,421 222 518 128 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0101 0110 0101 1101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100