-0,000 282 005 916 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 6| = 0,000 282 005 916 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 2;
  • 2) 0,000 564 011 833 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 666 4;
  • 3) 0,001 128 023 666 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 332 8;
  • 4) 0,002 256 047 332 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 665 6;
  • 5) 0,004 512 094 665 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 331 2;
  • 6) 0,009 024 189 331 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 662 4;
  • 7) 0,018 048 378 662 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 324 8;
  • 8) 0,036 096 757 324 8 × 2 = 0 + 0,072 193 514 649 6;
  • 9) 0,072 193 514 649 6 × 2 = 0 + 0,144 387 029 299 2;
  • 10) 0,144 387 029 299 2 × 2 = 0 + 0,288 774 058 598 4;
  • 11) 0,288 774 058 598 4 × 2 = 0 + 0,577 548 117 196 8;
  • 12) 0,577 548 117 196 8 × 2 = 1 + 0,155 096 234 393 6;
  • 13) 0,155 096 234 393 6 × 2 = 0 + 0,310 192 468 787 2;
  • 14) 0,310 192 468 787 2 × 2 = 0 + 0,620 384 937 574 4;
  • 15) 0,620 384 937 574 4 × 2 = 1 + 0,240 769 875 148 8;
  • 16) 0,240 769 875 148 8 × 2 = 0 + 0,481 539 750 297 6;
  • 17) 0,481 539 750 297 6 × 2 = 0 + 0,963 079 500 595 2;
  • 18) 0,963 079 500 595 2 × 2 = 1 + 0,926 159 001 190 4;
  • 19) 0,926 159 001 190 4 × 2 = 1 + 0,852 318 002 380 8;
  • 20) 0,852 318 002 380 8 × 2 = 1 + 0,704 636 004 761 6;
  • 21) 0,704 636 004 761 6 × 2 = 1 + 0,409 272 009 523 2;
  • 22) 0,409 272 009 523 2 × 2 = 0 + 0,818 544 019 046 4;
  • 23) 0,818 544 019 046 4 × 2 = 1 + 0,637 088 038 092 8;
  • 24) 0,637 088 038 092 8 × 2 = 1 + 0,274 176 076 185 6;
  • 25) 0,274 176 076 185 6 × 2 = 0 + 0,548 352 152 371 2;
  • 26) 0,548 352 152 371 2 × 2 = 1 + 0,096 704 304 742 4;
  • 27) 0,096 704 304 742 4 × 2 = 0 + 0,193 408 609 484 8;
  • 28) 0,193 408 609 484 8 × 2 = 0 + 0,386 817 218 969 6;
  • 29) 0,386 817 218 969 6 × 2 = 0 + 0,773 634 437 939 2;
  • 30) 0,773 634 437 939 2 × 2 = 1 + 0,547 268 875 878 4;
  • 31) 0,547 268 875 878 4 × 2 = 1 + 0,094 537 751 756 8;
  • 32) 0,094 537 751 756 8 × 2 = 0 + 0,189 075 503 513 6;
  • 33) 0,189 075 503 513 6 × 2 = 0 + 0,378 151 007 027 2;
  • 34) 0,378 151 007 027 2 × 2 = 0 + 0,756 302 014 054 4;
  • 35) 0,756 302 014 054 4 × 2 = 1 + 0,512 604 028 108 8;
  • 36) 0,512 604 028 108 8 × 2 = 1 + 0,025 208 056 217 6;
  • 37) 0,025 208 056 217 6 × 2 = 0 + 0,050 416 112 435 2;
  • 38) 0,050 416 112 435 2 × 2 = 0 + 0,100 832 224 870 4;
  • 39) 0,100 832 224 870 4 × 2 = 0 + 0,201 664 449 740 8;
  • 40) 0,201 664 449 740 8 × 2 = 0 + 0,403 328 899 481 6;
  • 41) 0,403 328 899 481 6 × 2 = 0 + 0,806 657 798 963 2;
  • 42) 0,806 657 798 963 2 × 2 = 1 + 0,613 315 597 926 4;
  • 43) 0,613 315 597 926 4 × 2 = 1 + 0,226 631 195 852 8;
  • 44) 0,226 631 195 852 8 × 2 = 0 + 0,453 262 391 705 6;
  • 45) 0,453 262 391 705 6 × 2 = 0 + 0,906 524 783 411 2;
  • 46) 0,906 524 783 411 2 × 2 = 1 + 0,813 049 566 822 4;
  • 47) 0,813 049 566 822 4 × 2 = 1 + 0,626 099 133 644 8;
  • 48) 0,626 099 133 644 8 × 2 = 1 + 0,252 198 267 289 6;
  • 49) 0,252 198 267 289 6 × 2 = 0 + 0,504 396 534 579 2;
  • 50) 0,504 396 534 579 2 × 2 = 1 + 0,008 793 069 158 4;
  • 51) 0,008 793 069 158 4 × 2 = 0 + 0,017 586 138 316 8;
  • 52) 0,017 586 138 316 8 × 2 = 0 + 0,035 172 276 633 6;
  • 53) 0,035 172 276 633 6 × 2 = 0 + 0,070 344 553 267 2;
  • 54) 0,070 344 553 267 2 × 2 = 0 + 0,140 689 106 534 4;
  • 55) 0,140 689 106 534 4 × 2 = 0 + 0,281 378 213 068 8;
  • 56) 0,281 378 213 068 8 × 2 = 0 + 0,562 756 426 137 6;
  • 57) 0,562 756 426 137 6 × 2 = 1 + 0,125 512 852 275 2;
  • 58) 0,125 512 852 275 2 × 2 = 0 + 0,251 025 704 550 4;
  • 59) 0,251 025 704 550 4 × 2 = 0 + 0,502 051 409 100 8;
  • 60) 0,502 051 409 100 8 × 2 = 1 + 0,004 102 818 201 6;
  • 61) 0,004 102 818 201 6 × 2 = 0 + 0,008 205 636 403 2;
  • 62) 0,008 205 636 403 2 × 2 = 0 + 0,016 411 272 806 4;
  • 63) 0,016 411 272 806 4 × 2 = 0 + 0,032 822 545 612 8;
  • 64) 0,032 822 545 612 8 × 2 = 0 + 0,065 645 091 225 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0110 0111 0100 0000 1001 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100