-0,000 282 005 916 65 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 65(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 65(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 65| = 0,000 282 005 916 65


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 65.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 65 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 3;
  • 2) 0,000 564 011 833 3 × 2 = 0 + 0,001 128 023 666 6;
  • 3) 0,001 128 023 666 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 333 2;
  • 4) 0,002 256 047 333 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 666 4;
  • 5) 0,004 512 094 666 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 332 8;
  • 6) 0,009 024 189 332 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 665 6;
  • 7) 0,018 048 378 665 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 331 2;
  • 8) 0,036 096 757 331 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 662 4;
  • 9) 0,072 193 514 662 4 × 2 = 0 + 0,144 387 029 324 8;
  • 10) 0,144 387 029 324 8 × 2 = 0 + 0,288 774 058 649 6;
  • 11) 0,288 774 058 649 6 × 2 = 0 + 0,577 548 117 299 2;
  • 12) 0,577 548 117 299 2 × 2 = 1 + 0,155 096 234 598 4;
  • 13) 0,155 096 234 598 4 × 2 = 0 + 0,310 192 469 196 8;
  • 14) 0,310 192 469 196 8 × 2 = 0 + 0,620 384 938 393 6;
  • 15) 0,620 384 938 393 6 × 2 = 1 + 0,240 769 876 787 2;
  • 16) 0,240 769 876 787 2 × 2 = 0 + 0,481 539 753 574 4;
  • 17) 0,481 539 753 574 4 × 2 = 0 + 0,963 079 507 148 8;
  • 18) 0,963 079 507 148 8 × 2 = 1 + 0,926 159 014 297 6;
  • 19) 0,926 159 014 297 6 × 2 = 1 + 0,852 318 028 595 2;
  • 20) 0,852 318 028 595 2 × 2 = 1 + 0,704 636 057 190 4;
  • 21) 0,704 636 057 190 4 × 2 = 1 + 0,409 272 114 380 8;
  • 22) 0,409 272 114 380 8 × 2 = 0 + 0,818 544 228 761 6;
  • 23) 0,818 544 228 761 6 × 2 = 1 + 0,637 088 457 523 2;
  • 24) 0,637 088 457 523 2 × 2 = 1 + 0,274 176 915 046 4;
  • 25) 0,274 176 915 046 4 × 2 = 0 + 0,548 353 830 092 8;
  • 26) 0,548 353 830 092 8 × 2 = 1 + 0,096 707 660 185 6;
  • 27) 0,096 707 660 185 6 × 2 = 0 + 0,193 415 320 371 2;
  • 28) 0,193 415 320 371 2 × 2 = 0 + 0,386 830 640 742 4;
  • 29) 0,386 830 640 742 4 × 2 = 0 + 0,773 661 281 484 8;
  • 30) 0,773 661 281 484 8 × 2 = 1 + 0,547 322 562 969 6;
  • 31) 0,547 322 562 969 6 × 2 = 1 + 0,094 645 125 939 2;
  • 32) 0,094 645 125 939 2 × 2 = 0 + 0,189 290 251 878 4;
  • 33) 0,189 290 251 878 4 × 2 = 0 + 0,378 580 503 756 8;
  • 34) 0,378 580 503 756 8 × 2 = 0 + 0,757 161 007 513 6;
  • 35) 0,757 161 007 513 6 × 2 = 1 + 0,514 322 015 027 2;
  • 36) 0,514 322 015 027 2 × 2 = 1 + 0,028 644 030 054 4;
  • 37) 0,028 644 030 054 4 × 2 = 0 + 0,057 288 060 108 8;
  • 38) 0,057 288 060 108 8 × 2 = 0 + 0,114 576 120 217 6;
  • 39) 0,114 576 120 217 6 × 2 = 0 + 0,229 152 240 435 2;
  • 40) 0,229 152 240 435 2 × 2 = 0 + 0,458 304 480 870 4;
  • 41) 0,458 304 480 870 4 × 2 = 0 + 0,916 608 961 740 8;
  • 42) 0,916 608 961 740 8 × 2 = 1 + 0,833 217 923 481 6;
  • 43) 0,833 217 923 481 6 × 2 = 1 + 0,666 435 846 963 2;
  • 44) 0,666 435 846 963 2 × 2 = 1 + 0,332 871 693 926 4;
  • 45) 0,332 871 693 926 4 × 2 = 0 + 0,665 743 387 852 8;
  • 46) 0,665 743 387 852 8 × 2 = 1 + 0,331 486 775 705 6;
  • 47) 0,331 486 775 705 6 × 2 = 0 + 0,662 973 551 411 2;
  • 48) 0,662 973 551 411 2 × 2 = 1 + 0,325 947 102 822 4;
  • 49) 0,325 947 102 822 4 × 2 = 0 + 0,651 894 205 644 8;
  • 50) 0,651 894 205 644 8 × 2 = 1 + 0,303 788 411 289 6;
  • 51) 0,303 788 411 289 6 × 2 = 0 + 0,607 576 822 579 2;
  • 52) 0,607 576 822 579 2 × 2 = 1 + 0,215 153 645 158 4;
  • 53) 0,215 153 645 158 4 × 2 = 0 + 0,430 307 290 316 8;
  • 54) 0,430 307 290 316 8 × 2 = 0 + 0,860 614 580 633 6;
  • 55) 0,860 614 580 633 6 × 2 = 1 + 0,721 229 161 267 2;
  • 56) 0,721 229 161 267 2 × 2 = 1 + 0,442 458 322 534 4;
  • 57) 0,442 458 322 534 4 × 2 = 0 + 0,884 916 645 068 8;
  • 58) 0,884 916 645 068 8 × 2 = 1 + 0,769 833 290 137 6;
  • 59) 0,769 833 290 137 6 × 2 = 1 + 0,539 666 580 275 2;
  • 60) 0,539 666 580 275 2 × 2 = 1 + 0,079 333 160 550 4;
  • 61) 0,079 333 160 550 4 × 2 = 0 + 0,158 666 321 100 8;
  • 62) 0,158 666 321 100 8 × 2 = 0 + 0,317 332 642 201 6;
  • 63) 0,317 332 642 201 6 × 2 = 0 + 0,634 665 284 403 2;
  • 64) 0,634 665 284 403 2 × 2 = 1 + 0,269 330 568 806 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 65 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0111 0101 0101 0011 0111 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 53 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100