-0,000 282 005 916 92 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 92(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 92(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 92| = 0,000 282 005 916 92


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 92.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 92 × 2 = 0 + 0,000 564 011 833 84;
  • 2) 0,000 564 011 833 84 × 2 = 0 + 0,001 128 023 667 68;
  • 3) 0,001 128 023 667 68 × 2 = 0 + 0,002 256 047 335 36;
  • 4) 0,002 256 047 335 36 × 2 = 0 + 0,004 512 094 670 72;
  • 5) 0,004 512 094 670 72 × 2 = 0 + 0,009 024 189 341 44;
  • 6) 0,009 024 189 341 44 × 2 = 0 + 0,018 048 378 682 88;
  • 7) 0,018 048 378 682 88 × 2 = 0 + 0,036 096 757 365 76;
  • 8) 0,036 096 757 365 76 × 2 = 0 + 0,072 193 514 731 52;
  • 9) 0,072 193 514 731 52 × 2 = 0 + 0,144 387 029 463 04;
  • 10) 0,144 387 029 463 04 × 2 = 0 + 0,288 774 058 926 08;
  • 11) 0,288 774 058 926 08 × 2 = 0 + 0,577 548 117 852 16;
  • 12) 0,577 548 117 852 16 × 2 = 1 + 0,155 096 235 704 32;
  • 13) 0,155 096 235 704 32 × 2 = 0 + 0,310 192 471 408 64;
  • 14) 0,310 192 471 408 64 × 2 = 0 + 0,620 384 942 817 28;
  • 15) 0,620 384 942 817 28 × 2 = 1 + 0,240 769 885 634 56;
  • 16) 0,240 769 885 634 56 × 2 = 0 + 0,481 539 771 269 12;
  • 17) 0,481 539 771 269 12 × 2 = 0 + 0,963 079 542 538 24;
  • 18) 0,963 079 542 538 24 × 2 = 1 + 0,926 159 085 076 48;
  • 19) 0,926 159 085 076 48 × 2 = 1 + 0,852 318 170 152 96;
  • 20) 0,852 318 170 152 96 × 2 = 1 + 0,704 636 340 305 92;
  • 21) 0,704 636 340 305 92 × 2 = 1 + 0,409 272 680 611 84;
  • 22) 0,409 272 680 611 84 × 2 = 0 + 0,818 545 361 223 68;
  • 23) 0,818 545 361 223 68 × 2 = 1 + 0,637 090 722 447 36;
  • 24) 0,637 090 722 447 36 × 2 = 1 + 0,274 181 444 894 72;
  • 25) 0,274 181 444 894 72 × 2 = 0 + 0,548 362 889 789 44;
  • 26) 0,548 362 889 789 44 × 2 = 1 + 0,096 725 779 578 88;
  • 27) 0,096 725 779 578 88 × 2 = 0 + 0,193 451 559 157 76;
  • 28) 0,193 451 559 157 76 × 2 = 0 + 0,386 903 118 315 52;
  • 29) 0,386 903 118 315 52 × 2 = 0 + 0,773 806 236 631 04;
  • 30) 0,773 806 236 631 04 × 2 = 1 + 0,547 612 473 262 08;
  • 31) 0,547 612 473 262 08 × 2 = 1 + 0,095 224 946 524 16;
  • 32) 0,095 224 946 524 16 × 2 = 0 + 0,190 449 893 048 32;
  • 33) 0,190 449 893 048 32 × 2 = 0 + 0,380 899 786 096 64;
  • 34) 0,380 899 786 096 64 × 2 = 0 + 0,761 799 572 193 28;
  • 35) 0,761 799 572 193 28 × 2 = 1 + 0,523 599 144 386 56;
  • 36) 0,523 599 144 386 56 × 2 = 1 + 0,047 198 288 773 12;
  • 37) 0,047 198 288 773 12 × 2 = 0 + 0,094 396 577 546 24;
  • 38) 0,094 396 577 546 24 × 2 = 0 + 0,188 793 155 092 48;
  • 39) 0,188 793 155 092 48 × 2 = 0 + 0,377 586 310 184 96;
  • 40) 0,377 586 310 184 96 × 2 = 0 + 0,755 172 620 369 92;
  • 41) 0,755 172 620 369 92 × 2 = 1 + 0,510 345 240 739 84;
  • 42) 0,510 345 240 739 84 × 2 = 1 + 0,020 690 481 479 68;
  • 43) 0,020 690 481 479 68 × 2 = 0 + 0,041 380 962 959 36;
  • 44) 0,041 380 962 959 36 × 2 = 0 + 0,082 761 925 918 72;
  • 45) 0,082 761 925 918 72 × 2 = 0 + 0,165 523 851 837 44;
  • 46) 0,165 523 851 837 44 × 2 = 0 + 0,331 047 703 674 88;
  • 47) 0,331 047 703 674 88 × 2 = 0 + 0,662 095 407 349 76;
  • 48) 0,662 095 407 349 76 × 2 = 1 + 0,324 190 814 699 52;
  • 49) 0,324 190 814 699 52 × 2 = 0 + 0,648 381 629 399 04;
  • 50) 0,648 381 629 399 04 × 2 = 1 + 0,296 763 258 798 08;
  • 51) 0,296 763 258 798 08 × 2 = 0 + 0,593 526 517 596 16;
  • 52) 0,593 526 517 596 16 × 2 = 1 + 0,187 053 035 192 32;
  • 53) 0,187 053 035 192 32 × 2 = 0 + 0,374 106 070 384 64;
  • 54) 0,374 106 070 384 64 × 2 = 0 + 0,748 212 140 769 28;
  • 55) 0,748 212 140 769 28 × 2 = 1 + 0,496 424 281 538 56;
  • 56) 0,496 424 281 538 56 × 2 = 0 + 0,992 848 563 077 12;
  • 57) 0,992 848 563 077 12 × 2 = 1 + 0,985 697 126 154 24;
  • 58) 0,985 697 126 154 24 × 2 = 1 + 0,971 394 252 308 48;
  • 59) 0,971 394 252 308 48 × 2 = 1 + 0,942 788 504 616 96;
  • 60) 0,942 788 504 616 96 × 2 = 1 + 0,885 577 009 233 92;
  • 61) 0,885 577 009 233 92 × 2 = 1 + 0,771 154 018 467 84;
  • 62) 0,771 154 018 467 84 × 2 = 1 + 0,542 308 036 935 68;
  • 63) 0,542 308 036 935 68 × 2 = 1 + 0,084 616 073 871 36;
  • 64) 0,084 616 073 871 36 × 2 = 0 + 0,169 232 147 742 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 92 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 1100 0001 0101 0010 1111 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 07 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100