-0,000 282 005 917 86 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 917 86(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 917 86(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 917 86| = 0,000 282 005 917 86


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 917 86.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 917 86 × 2 = 0 + 0,000 564 011 835 72;
  • 2) 0,000 564 011 835 72 × 2 = 0 + 0,001 128 023 671 44;
  • 3) 0,001 128 023 671 44 × 2 = 0 + 0,002 256 047 342 88;
  • 4) 0,002 256 047 342 88 × 2 = 0 + 0,004 512 094 685 76;
  • 5) 0,004 512 094 685 76 × 2 = 0 + 0,009 024 189 371 52;
  • 6) 0,009 024 189 371 52 × 2 = 0 + 0,018 048 378 743 04;
  • 7) 0,018 048 378 743 04 × 2 = 0 + 0,036 096 757 486 08;
  • 8) 0,036 096 757 486 08 × 2 = 0 + 0,072 193 514 972 16;
  • 9) 0,072 193 514 972 16 × 2 = 0 + 0,144 387 029 944 32;
  • 10) 0,144 387 029 944 32 × 2 = 0 + 0,288 774 059 888 64;
  • 11) 0,288 774 059 888 64 × 2 = 0 + 0,577 548 119 777 28;
  • 12) 0,577 548 119 777 28 × 2 = 1 + 0,155 096 239 554 56;
  • 13) 0,155 096 239 554 56 × 2 = 0 + 0,310 192 479 109 12;
  • 14) 0,310 192 479 109 12 × 2 = 0 + 0,620 384 958 218 24;
  • 15) 0,620 384 958 218 24 × 2 = 1 + 0,240 769 916 436 48;
  • 16) 0,240 769 916 436 48 × 2 = 0 + 0,481 539 832 872 96;
  • 17) 0,481 539 832 872 96 × 2 = 0 + 0,963 079 665 745 92;
  • 18) 0,963 079 665 745 92 × 2 = 1 + 0,926 159 331 491 84;
  • 19) 0,926 159 331 491 84 × 2 = 1 + 0,852 318 662 983 68;
  • 20) 0,852 318 662 983 68 × 2 = 1 + 0,704 637 325 967 36;
  • 21) 0,704 637 325 967 36 × 2 = 1 + 0,409 274 651 934 72;
  • 22) 0,409 274 651 934 72 × 2 = 0 + 0,818 549 303 869 44;
  • 23) 0,818 549 303 869 44 × 2 = 1 + 0,637 098 607 738 88;
  • 24) 0,637 098 607 738 88 × 2 = 1 + 0,274 197 215 477 76;
  • 25) 0,274 197 215 477 76 × 2 = 0 + 0,548 394 430 955 52;
  • 26) 0,548 394 430 955 52 × 2 = 1 + 0,096 788 861 911 04;
  • 27) 0,096 788 861 911 04 × 2 = 0 + 0,193 577 723 822 08;
  • 28) 0,193 577 723 822 08 × 2 = 0 + 0,387 155 447 644 16;
  • 29) 0,387 155 447 644 16 × 2 = 0 + 0,774 310 895 288 32;
  • 30) 0,774 310 895 288 32 × 2 = 1 + 0,548 621 790 576 64;
  • 31) 0,548 621 790 576 64 × 2 = 1 + 0,097 243 581 153 28;
  • 32) 0,097 243 581 153 28 × 2 = 0 + 0,194 487 162 306 56;
  • 33) 0,194 487 162 306 56 × 2 = 0 + 0,388 974 324 613 12;
  • 34) 0,388 974 324 613 12 × 2 = 0 + 0,777 948 649 226 24;
  • 35) 0,777 948 649 226 24 × 2 = 1 + 0,555 897 298 452 48;
  • 36) 0,555 897 298 452 48 × 2 = 1 + 0,111 794 596 904 96;
  • 37) 0,111 794 596 904 96 × 2 = 0 + 0,223 589 193 809 92;
  • 38) 0,223 589 193 809 92 × 2 = 0 + 0,447 178 387 619 84;
  • 39) 0,447 178 387 619 84 × 2 = 0 + 0,894 356 775 239 68;
  • 40) 0,894 356 775 239 68 × 2 = 1 + 0,788 713 550 479 36;
  • 41) 0,788 713 550 479 36 × 2 = 1 + 0,577 427 100 958 72;
  • 42) 0,577 427 100 958 72 × 2 = 1 + 0,154 854 201 917 44;
  • 43) 0,154 854 201 917 44 × 2 = 0 + 0,309 708 403 834 88;
  • 44) 0,309 708 403 834 88 × 2 = 0 + 0,619 416 807 669 76;
  • 45) 0,619 416 807 669 76 × 2 = 1 + 0,238 833 615 339 52;
  • 46) 0,238 833 615 339 52 × 2 = 0 + 0,477 667 230 679 04;
  • 47) 0,477 667 230 679 04 × 2 = 0 + 0,955 334 461 358 08;
  • 48) 0,955 334 461 358 08 × 2 = 1 + 0,910 668 922 716 16;
  • 49) 0,910 668 922 716 16 × 2 = 1 + 0,821 337 845 432 32;
  • 50) 0,821 337 845 432 32 × 2 = 1 + 0,642 675 690 864 64;
  • 51) 0,642 675 690 864 64 × 2 = 1 + 0,285 351 381 729 28;
  • 52) 0,285 351 381 729 28 × 2 = 0 + 0,570 702 763 458 56;
  • 53) 0,570 702 763 458 56 × 2 = 1 + 0,141 405 526 917 12;
  • 54) 0,141 405 526 917 12 × 2 = 0 + 0,282 811 053 834 24;
  • 55) 0,282 811 053 834 24 × 2 = 0 + 0,565 622 107 668 48;
  • 56) 0,565 622 107 668 48 × 2 = 1 + 0,131 244 215 336 96;
  • 57) 0,131 244 215 336 96 × 2 = 0 + 0,262 488 430 673 92;
  • 58) 0,262 488 430 673 92 × 2 = 0 + 0,524 976 861 347 84;
  • 59) 0,524 976 861 347 84 × 2 = 1 + 0,049 953 722 695 68;
  • 60) 0,049 953 722 695 68 × 2 = 0 + 0,099 907 445 391 36;
  • 61) 0,099 907 445 391 36 × 2 = 0 + 0,199 814 890 782 72;
  • 62) 0,199 814 890 782 72 × 2 = 0 + 0,399 629 781 565 44;
  • 63) 0,399 629 781 565 44 × 2 = 0 + 0,799 259 563 130 88;
  • 64) 0,799 259 563 130 88 × 2 = 1 + 0,598 519 126 261 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 917 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 917 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 917 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 917 86 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1100 1001 1110 1001 0010 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 918 42 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100