-0,000 282 005 917 93 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 917 93(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 917 93(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 917 93| = 0,000 282 005 917 93


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 917 93.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 917 93 × 2 = 0 + 0,000 564 011 835 86;
  • 2) 0,000 564 011 835 86 × 2 = 0 + 0,001 128 023 671 72;
  • 3) 0,001 128 023 671 72 × 2 = 0 + 0,002 256 047 343 44;
  • 4) 0,002 256 047 343 44 × 2 = 0 + 0,004 512 094 686 88;
  • 5) 0,004 512 094 686 88 × 2 = 0 + 0,009 024 189 373 76;
  • 6) 0,009 024 189 373 76 × 2 = 0 + 0,018 048 378 747 52;
  • 7) 0,018 048 378 747 52 × 2 = 0 + 0,036 096 757 495 04;
  • 8) 0,036 096 757 495 04 × 2 = 0 + 0,072 193 514 990 08;
  • 9) 0,072 193 514 990 08 × 2 = 0 + 0,144 387 029 980 16;
  • 10) 0,144 387 029 980 16 × 2 = 0 + 0,288 774 059 960 32;
  • 11) 0,288 774 059 960 32 × 2 = 0 + 0,577 548 119 920 64;
  • 12) 0,577 548 119 920 64 × 2 = 1 + 0,155 096 239 841 28;
  • 13) 0,155 096 239 841 28 × 2 = 0 + 0,310 192 479 682 56;
  • 14) 0,310 192 479 682 56 × 2 = 0 + 0,620 384 959 365 12;
  • 15) 0,620 384 959 365 12 × 2 = 1 + 0,240 769 918 730 24;
  • 16) 0,240 769 918 730 24 × 2 = 0 + 0,481 539 837 460 48;
  • 17) 0,481 539 837 460 48 × 2 = 0 + 0,963 079 674 920 96;
  • 18) 0,963 079 674 920 96 × 2 = 1 + 0,926 159 349 841 92;
  • 19) 0,926 159 349 841 92 × 2 = 1 + 0,852 318 699 683 84;
  • 20) 0,852 318 699 683 84 × 2 = 1 + 0,704 637 399 367 68;
  • 21) 0,704 637 399 367 68 × 2 = 1 + 0,409 274 798 735 36;
  • 22) 0,409 274 798 735 36 × 2 = 0 + 0,818 549 597 470 72;
  • 23) 0,818 549 597 470 72 × 2 = 1 + 0,637 099 194 941 44;
  • 24) 0,637 099 194 941 44 × 2 = 1 + 0,274 198 389 882 88;
  • 25) 0,274 198 389 882 88 × 2 = 0 + 0,548 396 779 765 76;
  • 26) 0,548 396 779 765 76 × 2 = 1 + 0,096 793 559 531 52;
  • 27) 0,096 793 559 531 52 × 2 = 0 + 0,193 587 119 063 04;
  • 28) 0,193 587 119 063 04 × 2 = 0 + 0,387 174 238 126 08;
  • 29) 0,387 174 238 126 08 × 2 = 0 + 0,774 348 476 252 16;
  • 30) 0,774 348 476 252 16 × 2 = 1 + 0,548 696 952 504 32;
  • 31) 0,548 696 952 504 32 × 2 = 1 + 0,097 393 905 008 64;
  • 32) 0,097 393 905 008 64 × 2 = 0 + 0,194 787 810 017 28;
  • 33) 0,194 787 810 017 28 × 2 = 0 + 0,389 575 620 034 56;
  • 34) 0,389 575 620 034 56 × 2 = 0 + 0,779 151 240 069 12;
  • 35) 0,779 151 240 069 12 × 2 = 1 + 0,558 302 480 138 24;
  • 36) 0,558 302 480 138 24 × 2 = 1 + 0,116 604 960 276 48;
  • 37) 0,116 604 960 276 48 × 2 = 0 + 0,233 209 920 552 96;
  • 38) 0,233 209 920 552 96 × 2 = 0 + 0,466 419 841 105 92;
  • 39) 0,466 419 841 105 92 × 2 = 0 + 0,932 839 682 211 84;
  • 40) 0,932 839 682 211 84 × 2 = 1 + 0,865 679 364 423 68;
  • 41) 0,865 679 364 423 68 × 2 = 1 + 0,731 358 728 847 36;
  • 42) 0,731 358 728 847 36 × 2 = 1 + 0,462 717 457 694 72;
  • 43) 0,462 717 457 694 72 × 2 = 0 + 0,925 434 915 389 44;
  • 44) 0,925 434 915 389 44 × 2 = 1 + 0,850 869 830 778 88;
  • 45) 0,850 869 830 778 88 × 2 = 1 + 0,701 739 661 557 76;
  • 46) 0,701 739 661 557 76 × 2 = 1 + 0,403 479 323 115 52;
  • 47) 0,403 479 323 115 52 × 2 = 0 + 0,806 958 646 231 04;
  • 48) 0,806 958 646 231 04 × 2 = 1 + 0,613 917 292 462 08;
  • 49) 0,613 917 292 462 08 × 2 = 1 + 0,227 834 584 924 16;
  • 50) 0,227 834 584 924 16 × 2 = 0 + 0,455 669 169 848 32;
  • 51) 0,455 669 169 848 32 × 2 = 0 + 0,911 338 339 696 64;
  • 52) 0,911 338 339 696 64 × 2 = 1 + 0,822 676 679 393 28;
  • 53) 0,822 676 679 393 28 × 2 = 1 + 0,645 353 358 786 56;
  • 54) 0,645 353 358 786 56 × 2 = 1 + 0,290 706 717 573 12;
  • 55) 0,290 706 717 573 12 × 2 = 0 + 0,581 413 435 146 24;
  • 56) 0,581 413 435 146 24 × 2 = 1 + 0,162 826 870 292 48;
  • 57) 0,162 826 870 292 48 × 2 = 0 + 0,325 653 740 584 96;
  • 58) 0,325 653 740 584 96 × 2 = 0 + 0,651 307 481 169 92;
  • 59) 0,651 307 481 169 92 × 2 = 1 + 0,302 614 962 339 84;
  • 60) 0,302 614 962 339 84 × 2 = 0 + 0,605 229 924 679 68;
  • 61) 0,605 229 924 679 68 × 2 = 1 + 0,210 459 849 359 36;
  • 62) 0,210 459 849 359 36 × 2 = 0 + 0,420 919 698 718 72;
  • 63) 0,420 919 698 718 72 × 2 = 0 + 0,841 839 397 437 44;
  • 64) 0,841 839 397 437 44 × 2 = 1 + 0,683 678 794 874 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 917 93(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 917 93(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 917 93(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 917 93 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0001 1101 1101 1001 1101 0010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100