-0,000 282 005 918 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 918 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 918 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 918 1| = 0,000 282 005 918 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 918 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 918 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 836 2;
  • 2) 0,000 564 011 836 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 672 4;
  • 3) 0,001 128 023 672 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 344 8;
  • 4) 0,002 256 047 344 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 689 6;
  • 5) 0,004 512 094 689 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 379 2;
  • 6) 0,009 024 189 379 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 758 4;
  • 7) 0,018 048 378 758 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 516 8;
  • 8) 0,036 096 757 516 8 × 2 = 0 + 0,072 193 515 033 6;
  • 9) 0,072 193 515 033 6 × 2 = 0 + 0,144 387 030 067 2;
  • 10) 0,144 387 030 067 2 × 2 = 0 + 0,288 774 060 134 4;
  • 11) 0,288 774 060 134 4 × 2 = 0 + 0,577 548 120 268 8;
  • 12) 0,577 548 120 268 8 × 2 = 1 + 0,155 096 240 537 6;
  • 13) 0,155 096 240 537 6 × 2 = 0 + 0,310 192 481 075 2;
  • 14) 0,310 192 481 075 2 × 2 = 0 + 0,620 384 962 150 4;
  • 15) 0,620 384 962 150 4 × 2 = 1 + 0,240 769 924 300 8;
  • 16) 0,240 769 924 300 8 × 2 = 0 + 0,481 539 848 601 6;
  • 17) 0,481 539 848 601 6 × 2 = 0 + 0,963 079 697 203 2;
  • 18) 0,963 079 697 203 2 × 2 = 1 + 0,926 159 394 406 4;
  • 19) 0,926 159 394 406 4 × 2 = 1 + 0,852 318 788 812 8;
  • 20) 0,852 318 788 812 8 × 2 = 1 + 0,704 637 577 625 6;
  • 21) 0,704 637 577 625 6 × 2 = 1 + 0,409 275 155 251 2;
  • 22) 0,409 275 155 251 2 × 2 = 0 + 0,818 550 310 502 4;
  • 23) 0,818 550 310 502 4 × 2 = 1 + 0,637 100 621 004 8;
  • 24) 0,637 100 621 004 8 × 2 = 1 + 0,274 201 242 009 6;
  • 25) 0,274 201 242 009 6 × 2 = 0 + 0,548 402 484 019 2;
  • 26) 0,548 402 484 019 2 × 2 = 1 + 0,096 804 968 038 4;
  • 27) 0,096 804 968 038 4 × 2 = 0 + 0,193 609 936 076 8;
  • 28) 0,193 609 936 076 8 × 2 = 0 + 0,387 219 872 153 6;
  • 29) 0,387 219 872 153 6 × 2 = 0 + 0,774 439 744 307 2;
  • 30) 0,774 439 744 307 2 × 2 = 1 + 0,548 879 488 614 4;
  • 31) 0,548 879 488 614 4 × 2 = 1 + 0,097 758 977 228 8;
  • 32) 0,097 758 977 228 8 × 2 = 0 + 0,195 517 954 457 6;
  • 33) 0,195 517 954 457 6 × 2 = 0 + 0,391 035 908 915 2;
  • 34) 0,391 035 908 915 2 × 2 = 0 + 0,782 071 817 830 4;
  • 35) 0,782 071 817 830 4 × 2 = 1 + 0,564 143 635 660 8;
  • 36) 0,564 143 635 660 8 × 2 = 1 + 0,128 287 271 321 6;
  • 37) 0,128 287 271 321 6 × 2 = 0 + 0,256 574 542 643 2;
  • 38) 0,256 574 542 643 2 × 2 = 0 + 0,513 149 085 286 4;
  • 39) 0,513 149 085 286 4 × 2 = 1 + 0,026 298 170 572 8;
  • 40) 0,026 298 170 572 8 × 2 = 0 + 0,052 596 341 145 6;
  • 41) 0,052 596 341 145 6 × 2 = 0 + 0,105 192 682 291 2;
  • 42) 0,105 192 682 291 2 × 2 = 0 + 0,210 385 364 582 4;
  • 43) 0,210 385 364 582 4 × 2 = 0 + 0,420 770 729 164 8;
  • 44) 0,420 770 729 164 8 × 2 = 0 + 0,841 541 458 329 6;
  • 45) 0,841 541 458 329 6 × 2 = 1 + 0,683 082 916 659 2;
  • 46) 0,683 082 916 659 2 × 2 = 1 + 0,366 165 833 318 4;
  • 47) 0,366 165 833 318 4 × 2 = 0 + 0,732 331 666 636 8;
  • 48) 0,732 331 666 636 8 × 2 = 1 + 0,464 663 333 273 6;
  • 49) 0,464 663 333 273 6 × 2 = 0 + 0,929 326 666 547 2;
  • 50) 0,929 326 666 547 2 × 2 = 1 + 0,858 653 333 094 4;
  • 51) 0,858 653 333 094 4 × 2 = 1 + 0,717 306 666 188 8;
  • 52) 0,717 306 666 188 8 × 2 = 1 + 0,434 613 332 377 6;
  • 53) 0,434 613 332 377 6 × 2 = 0 + 0,869 226 664 755 2;
  • 54) 0,869 226 664 755 2 × 2 = 1 + 0,738 453 329 510 4;
  • 55) 0,738 453 329 510 4 × 2 = 1 + 0,476 906 659 020 8;
  • 56) 0,476 906 659 020 8 × 2 = 0 + 0,953 813 318 041 6;
  • 57) 0,953 813 318 041 6 × 2 = 1 + 0,907 626 636 083 2;
  • 58) 0,907 626 636 083 2 × 2 = 1 + 0,815 253 272 166 4;
  • 59) 0,815 253 272 166 4 × 2 = 1 + 0,630 506 544 332 8;
  • 60) 0,630 506 544 332 8 × 2 = 1 + 0,261 013 088 665 6;
  • 61) 0,261 013 088 665 6 × 2 = 0 + 0,522 026 177 331 2;
  • 62) 0,522 026 177 331 2 × 2 = 1 + 0,044 052 354 662 4;
  • 63) 0,044 052 354 662 4 × 2 = 0 + 0,088 104 709 324 8;
  • 64) 0,088 104 709 324 8 × 2 = 0 + 0,176 209 418 649 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 918 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 918 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 918 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 918 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0000 1101 0111 0110 1111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100