-0,000 282 005 918 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 918 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 918 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 918 3| = 0,000 282 005 918 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 918 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 918 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 836 6;
  • 2) 0,000 564 011 836 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 673 2;
  • 3) 0,001 128 023 673 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 346 4;
  • 4) 0,002 256 047 346 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 692 8;
  • 5) 0,004 512 094 692 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 385 6;
  • 6) 0,009 024 189 385 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 771 2;
  • 7) 0,018 048 378 771 2 × 2 = 0 + 0,036 096 757 542 4;
  • 8) 0,036 096 757 542 4 × 2 = 0 + 0,072 193 515 084 8;
  • 9) 0,072 193 515 084 8 × 2 = 0 + 0,144 387 030 169 6;
  • 10) 0,144 387 030 169 6 × 2 = 0 + 0,288 774 060 339 2;
  • 11) 0,288 774 060 339 2 × 2 = 0 + 0,577 548 120 678 4;
  • 12) 0,577 548 120 678 4 × 2 = 1 + 0,155 096 241 356 8;
  • 13) 0,155 096 241 356 8 × 2 = 0 + 0,310 192 482 713 6;
  • 14) 0,310 192 482 713 6 × 2 = 0 + 0,620 384 965 427 2;
  • 15) 0,620 384 965 427 2 × 2 = 1 + 0,240 769 930 854 4;
  • 16) 0,240 769 930 854 4 × 2 = 0 + 0,481 539 861 708 8;
  • 17) 0,481 539 861 708 8 × 2 = 0 + 0,963 079 723 417 6;
  • 18) 0,963 079 723 417 6 × 2 = 1 + 0,926 159 446 835 2;
  • 19) 0,926 159 446 835 2 × 2 = 1 + 0,852 318 893 670 4;
  • 20) 0,852 318 893 670 4 × 2 = 1 + 0,704 637 787 340 8;
  • 21) 0,704 637 787 340 8 × 2 = 1 + 0,409 275 574 681 6;
  • 22) 0,409 275 574 681 6 × 2 = 0 + 0,818 551 149 363 2;
  • 23) 0,818 551 149 363 2 × 2 = 1 + 0,637 102 298 726 4;
  • 24) 0,637 102 298 726 4 × 2 = 1 + 0,274 204 597 452 8;
  • 25) 0,274 204 597 452 8 × 2 = 0 + 0,548 409 194 905 6;
  • 26) 0,548 409 194 905 6 × 2 = 1 + 0,096 818 389 811 2;
  • 27) 0,096 818 389 811 2 × 2 = 0 + 0,193 636 779 622 4;
  • 28) 0,193 636 779 622 4 × 2 = 0 + 0,387 273 559 244 8;
  • 29) 0,387 273 559 244 8 × 2 = 0 + 0,774 547 118 489 6;
  • 30) 0,774 547 118 489 6 × 2 = 1 + 0,549 094 236 979 2;
  • 31) 0,549 094 236 979 2 × 2 = 1 + 0,098 188 473 958 4;
  • 32) 0,098 188 473 958 4 × 2 = 0 + 0,196 376 947 916 8;
  • 33) 0,196 376 947 916 8 × 2 = 0 + 0,392 753 895 833 6;
  • 34) 0,392 753 895 833 6 × 2 = 0 + 0,785 507 791 667 2;
  • 35) 0,785 507 791 667 2 × 2 = 1 + 0,571 015 583 334 4;
  • 36) 0,571 015 583 334 4 × 2 = 1 + 0,142 031 166 668 8;
  • 37) 0,142 031 166 668 8 × 2 = 0 + 0,284 062 333 337 6;
  • 38) 0,284 062 333 337 6 × 2 = 0 + 0,568 124 666 675 2;
  • 39) 0,568 124 666 675 2 × 2 = 1 + 0,136 249 333 350 4;
  • 40) 0,136 249 333 350 4 × 2 = 0 + 0,272 498 666 700 8;
  • 41) 0,272 498 666 700 8 × 2 = 0 + 0,544 997 333 401 6;
  • 42) 0,544 997 333 401 6 × 2 = 1 + 0,089 994 666 803 2;
  • 43) 0,089 994 666 803 2 × 2 = 0 + 0,179 989 333 606 4;
  • 44) 0,179 989 333 606 4 × 2 = 0 + 0,359 978 667 212 8;
  • 45) 0,359 978 667 212 8 × 2 = 0 + 0,719 957 334 425 6;
  • 46) 0,719 957 334 425 6 × 2 = 1 + 0,439 914 668 851 2;
  • 47) 0,439 914 668 851 2 × 2 = 0 + 0,879 829 337 702 4;
  • 48) 0,879 829 337 702 4 × 2 = 1 + 0,759 658 675 404 8;
  • 49) 0,759 658 675 404 8 × 2 = 1 + 0,519 317 350 809 6;
  • 50) 0,519 317 350 809 6 × 2 = 1 + 0,038 634 701 619 2;
  • 51) 0,038 634 701 619 2 × 2 = 0 + 0,077 269 403 238 4;
  • 52) 0,077 269 403 238 4 × 2 = 0 + 0,154 538 806 476 8;
  • 53) 0,154 538 806 476 8 × 2 = 0 + 0,309 077 612 953 6;
  • 54) 0,309 077 612 953 6 × 2 = 0 + 0,618 155 225 907 2;
  • 55) 0,618 155 225 907 2 × 2 = 1 + 0,236 310 451 814 4;
  • 56) 0,236 310 451 814 4 × 2 = 0 + 0,472 620 903 628 8;
  • 57) 0,472 620 903 628 8 × 2 = 0 + 0,945 241 807 257 6;
  • 58) 0,945 241 807 257 6 × 2 = 1 + 0,890 483 614 515 2;
  • 59) 0,890 483 614 515 2 × 2 = 1 + 0,780 967 229 030 4;
  • 60) 0,780 967 229 030 4 × 2 = 1 + 0,561 934 458 060 8;
  • 61) 0,561 934 458 060 8 × 2 = 1 + 0,123 868 916 121 6;
  • 62) 0,123 868 916 121 6 × 2 = 0 + 0,247 737 832 243 2;
  • 63) 0,247 737 832 243 2 × 2 = 0 + 0,495 475 664 486 4;
  • 64) 0,495 475 664 486 4 × 2 = 0 + 0,990 951 328 972 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 918 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 918 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 918 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 918 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0010 0100 0101 1100 0010 0111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 921 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100