-0,000 282 005 919 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 919 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 919 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 919 4| = 0,000 282 005 919 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 919 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 919 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 838 8;
  • 2) 0,000 564 011 838 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 677 6;
  • 3) 0,001 128 023 677 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 355 2;
  • 4) 0,002 256 047 355 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 710 4;
  • 5) 0,004 512 094 710 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 420 8;
  • 6) 0,009 024 189 420 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 841 6;
  • 7) 0,018 048 378 841 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 683 2;
  • 8) 0,036 096 757 683 2 × 2 = 0 + 0,072 193 515 366 4;
  • 9) 0,072 193 515 366 4 × 2 = 0 + 0,144 387 030 732 8;
  • 10) 0,144 387 030 732 8 × 2 = 0 + 0,288 774 061 465 6;
  • 11) 0,288 774 061 465 6 × 2 = 0 + 0,577 548 122 931 2;
  • 12) 0,577 548 122 931 2 × 2 = 1 + 0,155 096 245 862 4;
  • 13) 0,155 096 245 862 4 × 2 = 0 + 0,310 192 491 724 8;
  • 14) 0,310 192 491 724 8 × 2 = 0 + 0,620 384 983 449 6;
  • 15) 0,620 384 983 449 6 × 2 = 1 + 0,240 769 966 899 2;
  • 16) 0,240 769 966 899 2 × 2 = 0 + 0,481 539 933 798 4;
  • 17) 0,481 539 933 798 4 × 2 = 0 + 0,963 079 867 596 8;
  • 18) 0,963 079 867 596 8 × 2 = 1 + 0,926 159 735 193 6;
  • 19) 0,926 159 735 193 6 × 2 = 1 + 0,852 319 470 387 2;
  • 20) 0,852 319 470 387 2 × 2 = 1 + 0,704 638 940 774 4;
  • 21) 0,704 638 940 774 4 × 2 = 1 + 0,409 277 881 548 8;
  • 22) 0,409 277 881 548 8 × 2 = 0 + 0,818 555 763 097 6;
  • 23) 0,818 555 763 097 6 × 2 = 1 + 0,637 111 526 195 2;
  • 24) 0,637 111 526 195 2 × 2 = 1 + 0,274 223 052 390 4;
  • 25) 0,274 223 052 390 4 × 2 = 0 + 0,548 446 104 780 8;
  • 26) 0,548 446 104 780 8 × 2 = 1 + 0,096 892 209 561 6;
  • 27) 0,096 892 209 561 6 × 2 = 0 + 0,193 784 419 123 2;
  • 28) 0,193 784 419 123 2 × 2 = 0 + 0,387 568 838 246 4;
  • 29) 0,387 568 838 246 4 × 2 = 0 + 0,775 137 676 492 8;
  • 30) 0,775 137 676 492 8 × 2 = 1 + 0,550 275 352 985 6;
  • 31) 0,550 275 352 985 6 × 2 = 1 + 0,100 550 705 971 2;
  • 32) 0,100 550 705 971 2 × 2 = 0 + 0,201 101 411 942 4;
  • 33) 0,201 101 411 942 4 × 2 = 0 + 0,402 202 823 884 8;
  • 34) 0,402 202 823 884 8 × 2 = 0 + 0,804 405 647 769 6;
  • 35) 0,804 405 647 769 6 × 2 = 1 + 0,608 811 295 539 2;
  • 36) 0,608 811 295 539 2 × 2 = 1 + 0,217 622 591 078 4;
  • 37) 0,217 622 591 078 4 × 2 = 0 + 0,435 245 182 156 8;
  • 38) 0,435 245 182 156 8 × 2 = 0 + 0,870 490 364 313 6;
  • 39) 0,870 490 364 313 6 × 2 = 1 + 0,740 980 728 627 2;
  • 40) 0,740 980 728 627 2 × 2 = 1 + 0,481 961 457 254 4;
  • 41) 0,481 961 457 254 4 × 2 = 0 + 0,963 922 914 508 8;
  • 42) 0,963 922 914 508 8 × 2 = 1 + 0,927 845 829 017 6;
  • 43) 0,927 845 829 017 6 × 2 = 1 + 0,855 691 658 035 2;
  • 44) 0,855 691 658 035 2 × 2 = 1 + 0,711 383 316 070 4;
  • 45) 0,711 383 316 070 4 × 2 = 1 + 0,422 766 632 140 8;
  • 46) 0,422 766 632 140 8 × 2 = 0 + 0,845 533 264 281 6;
  • 47) 0,845 533 264 281 6 × 2 = 1 + 0,691 066 528 563 2;
  • 48) 0,691 066 528 563 2 × 2 = 1 + 0,382 133 057 126 4;
  • 49) 0,382 133 057 126 4 × 2 = 0 + 0,764 266 114 252 8;
  • 50) 0,764 266 114 252 8 × 2 = 1 + 0,528 532 228 505 6;
  • 51) 0,528 532 228 505 6 × 2 = 1 + 0,057 064 457 011 2;
  • 52) 0,057 064 457 011 2 × 2 = 0 + 0,114 128 914 022 4;
  • 53) 0,114 128 914 022 4 × 2 = 0 + 0,228 257 828 044 8;
  • 54) 0,228 257 828 044 8 × 2 = 0 + 0,456 515 656 089 6;
  • 55) 0,456 515 656 089 6 × 2 = 0 + 0,913 031 312 179 2;
  • 56) 0,913 031 312 179 2 × 2 = 1 + 0,826 062 624 358 4;
  • 57) 0,826 062 624 358 4 × 2 = 1 + 0,652 125 248 716 8;
  • 58) 0,652 125 248 716 8 × 2 = 1 + 0,304 250 497 433 6;
  • 59) 0,304 250 497 433 6 × 2 = 0 + 0,608 500 994 867 2;
  • 60) 0,608 500 994 867 2 × 2 = 1 + 0,217 001 989 734 4;
  • 61) 0,217 001 989 734 4 × 2 = 0 + 0,434 003 979 468 8;
  • 62) 0,434 003 979 468 8 × 2 = 0 + 0,868 007 958 937 6;
  • 63) 0,868 007 958 937 6 × 2 = 1 + 0,736 015 917 875 2;
  • 64) 0,736 015 917 875 2 × 2 = 1 + 0,472 031 835 750 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 919 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 919 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 919 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 919 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 0111 1011 0110 0001 1101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100