-0,000 282 005 919 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 919 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 919 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 919 7| = 0,000 282 005 919 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 919 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 919 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 839 4;
  • 2) 0,000 564 011 839 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 678 8;
  • 3) 0,001 128 023 678 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 357 6;
  • 4) 0,002 256 047 357 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 715 2;
  • 5) 0,004 512 094 715 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 430 4;
  • 6) 0,009 024 189 430 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 860 8;
  • 7) 0,018 048 378 860 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 721 6;
  • 8) 0,036 096 757 721 6 × 2 = 0 + 0,072 193 515 443 2;
  • 9) 0,072 193 515 443 2 × 2 = 0 + 0,144 387 030 886 4;
  • 10) 0,144 387 030 886 4 × 2 = 0 + 0,288 774 061 772 8;
  • 11) 0,288 774 061 772 8 × 2 = 0 + 0,577 548 123 545 6;
  • 12) 0,577 548 123 545 6 × 2 = 1 + 0,155 096 247 091 2;
  • 13) 0,155 096 247 091 2 × 2 = 0 + 0,310 192 494 182 4;
  • 14) 0,310 192 494 182 4 × 2 = 0 + 0,620 384 988 364 8;
  • 15) 0,620 384 988 364 8 × 2 = 1 + 0,240 769 976 729 6;
  • 16) 0,240 769 976 729 6 × 2 = 0 + 0,481 539 953 459 2;
  • 17) 0,481 539 953 459 2 × 2 = 0 + 0,963 079 906 918 4;
  • 18) 0,963 079 906 918 4 × 2 = 1 + 0,926 159 813 836 8;
  • 19) 0,926 159 813 836 8 × 2 = 1 + 0,852 319 627 673 6;
  • 20) 0,852 319 627 673 6 × 2 = 1 + 0,704 639 255 347 2;
  • 21) 0,704 639 255 347 2 × 2 = 1 + 0,409 278 510 694 4;
  • 22) 0,409 278 510 694 4 × 2 = 0 + 0,818 557 021 388 8;
  • 23) 0,818 557 021 388 8 × 2 = 1 + 0,637 114 042 777 6;
  • 24) 0,637 114 042 777 6 × 2 = 1 + 0,274 228 085 555 2;
  • 25) 0,274 228 085 555 2 × 2 = 0 + 0,548 456 171 110 4;
  • 26) 0,548 456 171 110 4 × 2 = 1 + 0,096 912 342 220 8;
  • 27) 0,096 912 342 220 8 × 2 = 0 + 0,193 824 684 441 6;
  • 28) 0,193 824 684 441 6 × 2 = 0 + 0,387 649 368 883 2;
  • 29) 0,387 649 368 883 2 × 2 = 0 + 0,775 298 737 766 4;
  • 30) 0,775 298 737 766 4 × 2 = 1 + 0,550 597 475 532 8;
  • 31) 0,550 597 475 532 8 × 2 = 1 + 0,101 194 951 065 6;
  • 32) 0,101 194 951 065 6 × 2 = 0 + 0,202 389 902 131 2;
  • 33) 0,202 389 902 131 2 × 2 = 0 + 0,404 779 804 262 4;
  • 34) 0,404 779 804 262 4 × 2 = 0 + 0,809 559 608 524 8;
  • 35) 0,809 559 608 524 8 × 2 = 1 + 0,619 119 217 049 6;
  • 36) 0,619 119 217 049 6 × 2 = 1 + 0,238 238 434 099 2;
  • 37) 0,238 238 434 099 2 × 2 = 0 + 0,476 476 868 198 4;
  • 38) 0,476 476 868 198 4 × 2 = 0 + 0,952 953 736 396 8;
  • 39) 0,952 953 736 396 8 × 2 = 1 + 0,905 907 472 793 6;
  • 40) 0,905 907 472 793 6 × 2 = 1 + 0,811 814 945 587 2;
  • 41) 0,811 814 945 587 2 × 2 = 1 + 0,623 629 891 174 4;
  • 42) 0,623 629 891 174 4 × 2 = 1 + 0,247 259 782 348 8;
  • 43) 0,247 259 782 348 8 × 2 = 0 + 0,494 519 564 697 6;
  • 44) 0,494 519 564 697 6 × 2 = 0 + 0,989 039 129 395 2;
  • 45) 0,989 039 129 395 2 × 2 = 1 + 0,978 078 258 790 4;
  • 46) 0,978 078 258 790 4 × 2 = 1 + 0,956 156 517 580 8;
  • 47) 0,956 156 517 580 8 × 2 = 1 + 0,912 313 035 161 6;
  • 48) 0,912 313 035 161 6 × 2 = 1 + 0,824 626 070 323 2;
  • 49) 0,824 626 070 323 2 × 2 = 1 + 0,649 252 140 646 4;
  • 50) 0,649 252 140 646 4 × 2 = 1 + 0,298 504 281 292 8;
  • 51) 0,298 504 281 292 8 × 2 = 0 + 0,597 008 562 585 6;
  • 52) 0,597 008 562 585 6 × 2 = 1 + 0,194 017 125 171 2;
  • 53) 0,194 017 125 171 2 × 2 = 0 + 0,388 034 250 342 4;
  • 54) 0,388 034 250 342 4 × 2 = 0 + 0,776 068 500 684 8;
  • 55) 0,776 068 500 684 8 × 2 = 1 + 0,552 137 001 369 6;
  • 56) 0,552 137 001 369 6 × 2 = 1 + 0,104 274 002 739 2;
  • 57) 0,104 274 002 739 2 × 2 = 0 + 0,208 548 005 478 4;
  • 58) 0,208 548 005 478 4 × 2 = 0 + 0,417 096 010 956 8;
  • 59) 0,417 096 010 956 8 × 2 = 0 + 0,834 192 021 913 6;
  • 60) 0,834 192 021 913 6 × 2 = 1 + 0,668 384 043 827 2;
  • 61) 0,668 384 043 827 2 × 2 = 1 + 0,336 768 087 654 4;
  • 62) 0,336 768 087 654 4 × 2 = 0 + 0,673 536 175 308 8;
  • 63) 0,673 536 175 308 8 × 2 = 1 + 0,347 072 350 617 6;
  • 64) 0,347 072 350 617 6 × 2 = 0 + 0,694 144 701 235 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 919 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 919 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 919 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 919 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0011 1100 1111 1101 0011 0001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100