-0,000 282 005 919 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 919 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 919 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 919 9| = 0,000 282 005 919 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 919 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 919 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 839 8;
  • 2) 0,000 564 011 839 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 679 6;
  • 3) 0,001 128 023 679 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 359 2;
  • 4) 0,002 256 047 359 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 718 4;
  • 5) 0,004 512 094 718 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 436 8;
  • 6) 0,009 024 189 436 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 873 6;
  • 7) 0,018 048 378 873 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 747 2;
  • 8) 0,036 096 757 747 2 × 2 = 0 + 0,072 193 515 494 4;
  • 9) 0,072 193 515 494 4 × 2 = 0 + 0,144 387 030 988 8;
  • 10) 0,144 387 030 988 8 × 2 = 0 + 0,288 774 061 977 6;
  • 11) 0,288 774 061 977 6 × 2 = 0 + 0,577 548 123 955 2;
  • 12) 0,577 548 123 955 2 × 2 = 1 + 0,155 096 247 910 4;
  • 13) 0,155 096 247 910 4 × 2 = 0 + 0,310 192 495 820 8;
  • 14) 0,310 192 495 820 8 × 2 = 0 + 0,620 384 991 641 6;
  • 15) 0,620 384 991 641 6 × 2 = 1 + 0,240 769 983 283 2;
  • 16) 0,240 769 983 283 2 × 2 = 0 + 0,481 539 966 566 4;
  • 17) 0,481 539 966 566 4 × 2 = 0 + 0,963 079 933 132 8;
  • 18) 0,963 079 933 132 8 × 2 = 1 + 0,926 159 866 265 6;
  • 19) 0,926 159 866 265 6 × 2 = 1 + 0,852 319 732 531 2;
  • 20) 0,852 319 732 531 2 × 2 = 1 + 0,704 639 465 062 4;
  • 21) 0,704 639 465 062 4 × 2 = 1 + 0,409 278 930 124 8;
  • 22) 0,409 278 930 124 8 × 2 = 0 + 0,818 557 860 249 6;
  • 23) 0,818 557 860 249 6 × 2 = 1 + 0,637 115 720 499 2;
  • 24) 0,637 115 720 499 2 × 2 = 1 + 0,274 231 440 998 4;
  • 25) 0,274 231 440 998 4 × 2 = 0 + 0,548 462 881 996 8;
  • 26) 0,548 462 881 996 8 × 2 = 1 + 0,096 925 763 993 6;
  • 27) 0,096 925 763 993 6 × 2 = 0 + 0,193 851 527 987 2;
  • 28) 0,193 851 527 987 2 × 2 = 0 + 0,387 703 055 974 4;
  • 29) 0,387 703 055 974 4 × 2 = 0 + 0,775 406 111 948 8;
  • 30) 0,775 406 111 948 8 × 2 = 1 + 0,550 812 223 897 6;
  • 31) 0,550 812 223 897 6 × 2 = 1 + 0,101 624 447 795 2;
  • 32) 0,101 624 447 795 2 × 2 = 0 + 0,203 248 895 590 4;
  • 33) 0,203 248 895 590 4 × 2 = 0 + 0,406 497 791 180 8;
  • 34) 0,406 497 791 180 8 × 2 = 0 + 0,812 995 582 361 6;
  • 35) 0,812 995 582 361 6 × 2 = 1 + 0,625 991 164 723 2;
  • 36) 0,625 991 164 723 2 × 2 = 1 + 0,251 982 329 446 4;
  • 37) 0,251 982 329 446 4 × 2 = 0 + 0,503 964 658 892 8;
  • 38) 0,503 964 658 892 8 × 2 = 1 + 0,007 929 317 785 6;
  • 39) 0,007 929 317 785 6 × 2 = 0 + 0,015 858 635 571 2;
  • 40) 0,015 858 635 571 2 × 2 = 0 + 0,031 717 271 142 4;
  • 41) 0,031 717 271 142 4 × 2 = 0 + 0,063 434 542 284 8;
  • 42) 0,063 434 542 284 8 × 2 = 0 + 0,126 869 084 569 6;
  • 43) 0,126 869 084 569 6 × 2 = 0 + 0,253 738 169 139 2;
  • 44) 0,253 738 169 139 2 × 2 = 0 + 0,507 476 338 278 4;
  • 45) 0,507 476 338 278 4 × 2 = 1 + 0,014 952 676 556 8;
  • 46) 0,014 952 676 556 8 × 2 = 0 + 0,029 905 353 113 6;
  • 47) 0,029 905 353 113 6 × 2 = 0 + 0,059 810 706 227 2;
  • 48) 0,059 810 706 227 2 × 2 = 0 + 0,119 621 412 454 4;
  • 49) 0,119 621 412 454 4 × 2 = 0 + 0,239 242 824 908 8;
  • 50) 0,239 242 824 908 8 × 2 = 0 + 0,478 485 649 817 6;
  • 51) 0,478 485 649 817 6 × 2 = 0 + 0,956 971 299 635 2;
  • 52) 0,956 971 299 635 2 × 2 = 1 + 0,913 942 599 270 4;
  • 53) 0,913 942 599 270 4 × 2 = 1 + 0,827 885 198 540 8;
  • 54) 0,827 885 198 540 8 × 2 = 1 + 0,655 770 397 081 6;
  • 55) 0,655 770 397 081 6 × 2 = 1 + 0,311 540 794 163 2;
  • 56) 0,311 540 794 163 2 × 2 = 0 + 0,623 081 588 326 4;
  • 57) 0,623 081 588 326 4 × 2 = 1 + 0,246 163 176 652 8;
  • 58) 0,246 163 176 652 8 × 2 = 0 + 0,492 326 353 305 6;
  • 59) 0,492 326 353 305 6 × 2 = 0 + 0,984 652 706 611 2;
  • 60) 0,984 652 706 611 2 × 2 = 1 + 0,969 305 413 222 4;
  • 61) 0,969 305 413 222 4 × 2 = 1 + 0,938 610 826 444 8;
  • 62) 0,938 610 826 444 8 × 2 = 1 + 0,877 221 652 889 6;
  • 63) 0,877 221 652 889 6 × 2 = 1 + 0,754 443 305 779 2;
  • 64) 0,754 443 305 779 2 × 2 = 1 + 0,508 886 611 558 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 919 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 919 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 919 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 919 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0000 1000 0001 1110 1001 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100