-0,000 282 005 920 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 920 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 920 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 920 1| = 0,000 282 005 920 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 920 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 920 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 840 2;
  • 2) 0,000 564 011 840 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 680 4;
  • 3) 0,001 128 023 680 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 360 8;
  • 4) 0,002 256 047 360 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 721 6;
  • 5) 0,004 512 094 721 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 443 2;
  • 6) 0,009 024 189 443 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 886 4;
  • 7) 0,018 048 378 886 4 × 2 = 0 + 0,036 096 757 772 8;
  • 8) 0,036 096 757 772 8 × 2 = 0 + 0,072 193 515 545 6;
  • 9) 0,072 193 515 545 6 × 2 = 0 + 0,144 387 031 091 2;
  • 10) 0,144 387 031 091 2 × 2 = 0 + 0,288 774 062 182 4;
  • 11) 0,288 774 062 182 4 × 2 = 0 + 0,577 548 124 364 8;
  • 12) 0,577 548 124 364 8 × 2 = 1 + 0,155 096 248 729 6;
  • 13) 0,155 096 248 729 6 × 2 = 0 + 0,310 192 497 459 2;
  • 14) 0,310 192 497 459 2 × 2 = 0 + 0,620 384 994 918 4;
  • 15) 0,620 384 994 918 4 × 2 = 1 + 0,240 769 989 836 8;
  • 16) 0,240 769 989 836 8 × 2 = 0 + 0,481 539 979 673 6;
  • 17) 0,481 539 979 673 6 × 2 = 0 + 0,963 079 959 347 2;
  • 18) 0,963 079 959 347 2 × 2 = 1 + 0,926 159 918 694 4;
  • 19) 0,926 159 918 694 4 × 2 = 1 + 0,852 319 837 388 8;
  • 20) 0,852 319 837 388 8 × 2 = 1 + 0,704 639 674 777 6;
  • 21) 0,704 639 674 777 6 × 2 = 1 + 0,409 279 349 555 2;
  • 22) 0,409 279 349 555 2 × 2 = 0 + 0,818 558 699 110 4;
  • 23) 0,818 558 699 110 4 × 2 = 1 + 0,637 117 398 220 8;
  • 24) 0,637 117 398 220 8 × 2 = 1 + 0,274 234 796 441 6;
  • 25) 0,274 234 796 441 6 × 2 = 0 + 0,548 469 592 883 2;
  • 26) 0,548 469 592 883 2 × 2 = 1 + 0,096 939 185 766 4;
  • 27) 0,096 939 185 766 4 × 2 = 0 + 0,193 878 371 532 8;
  • 28) 0,193 878 371 532 8 × 2 = 0 + 0,387 756 743 065 6;
  • 29) 0,387 756 743 065 6 × 2 = 0 + 0,775 513 486 131 2;
  • 30) 0,775 513 486 131 2 × 2 = 1 + 0,551 026 972 262 4;
  • 31) 0,551 026 972 262 4 × 2 = 1 + 0,102 053 944 524 8;
  • 32) 0,102 053 944 524 8 × 2 = 0 + 0,204 107 889 049 6;
  • 33) 0,204 107 889 049 6 × 2 = 0 + 0,408 215 778 099 2;
  • 34) 0,408 215 778 099 2 × 2 = 0 + 0,816 431 556 198 4;
  • 35) 0,816 431 556 198 4 × 2 = 1 + 0,632 863 112 396 8;
  • 36) 0,632 863 112 396 8 × 2 = 1 + 0,265 726 224 793 6;
  • 37) 0,265 726 224 793 6 × 2 = 0 + 0,531 452 449 587 2;
  • 38) 0,531 452 449 587 2 × 2 = 1 + 0,062 904 899 174 4;
  • 39) 0,062 904 899 174 4 × 2 = 0 + 0,125 809 798 348 8;
  • 40) 0,125 809 798 348 8 × 2 = 0 + 0,251 619 596 697 6;
  • 41) 0,251 619 596 697 6 × 2 = 0 + 0,503 239 193 395 2;
  • 42) 0,503 239 193 395 2 × 2 = 1 + 0,006 478 386 790 4;
  • 43) 0,006 478 386 790 4 × 2 = 0 + 0,012 956 773 580 8;
  • 44) 0,012 956 773 580 8 × 2 = 0 + 0,025 913 547 161 6;
  • 45) 0,025 913 547 161 6 × 2 = 0 + 0,051 827 094 323 2;
  • 46) 0,051 827 094 323 2 × 2 = 0 + 0,103 654 188 646 4;
  • 47) 0,103 654 188 646 4 × 2 = 0 + 0,207 308 377 292 8;
  • 48) 0,207 308 377 292 8 × 2 = 0 + 0,414 616 754 585 6;
  • 49) 0,414 616 754 585 6 × 2 = 0 + 0,829 233 509 171 2;
  • 50) 0,829 233 509 171 2 × 2 = 1 + 0,658 467 018 342 4;
  • 51) 0,658 467 018 342 4 × 2 = 1 + 0,316 934 036 684 8;
  • 52) 0,316 934 036 684 8 × 2 = 0 + 0,633 868 073 369 6;
  • 53) 0,633 868 073 369 6 × 2 = 1 + 0,267 736 146 739 2;
  • 54) 0,267 736 146 739 2 × 2 = 0 + 0,535 472 293 478 4;
  • 55) 0,535 472 293 478 4 × 2 = 1 + 0,070 944 586 956 8;
  • 56) 0,070 944 586 956 8 × 2 = 0 + 0,141 889 173 913 6;
  • 57) 0,141 889 173 913 6 × 2 = 0 + 0,283 778 347 827 2;
  • 58) 0,283 778 347 827 2 × 2 = 0 + 0,567 556 695 654 4;
  • 59) 0,567 556 695 654 4 × 2 = 1 + 0,135 113 391 308 8;
  • 60) 0,135 113 391 308 8 × 2 = 0 + 0,270 226 782 617 6;
  • 61) 0,270 226 782 617 6 × 2 = 0 + 0,540 453 565 235 2;
  • 62) 0,540 453 565 235 2 × 2 = 1 + 0,080 907 130 470 4;
  • 63) 0,080 907 130 470 4 × 2 = 0 + 0,161 814 260 940 8;
  • 64) 0,161 814 260 940 8 × 2 = 0 + 0,323 628 521 881 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 920 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 920 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 920 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 920 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 0100 0000 0110 1010 0010 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 924 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100