-0,000 282 005 922 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 922 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 922 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 922 3| = 0,000 282 005 922 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 922 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 922 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 844 6;
  • 2) 0,000 564 011 844 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 689 2;
  • 3) 0,001 128 023 689 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 378 4;
  • 4) 0,002 256 047 378 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 756 8;
  • 5) 0,004 512 094 756 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 513 6;
  • 6) 0,009 024 189 513 6 × 2 = 0 + 0,018 048 379 027 2;
  • 7) 0,018 048 379 027 2 × 2 = 0 + 0,036 096 758 054 4;
  • 8) 0,036 096 758 054 4 × 2 = 0 + 0,072 193 516 108 8;
  • 9) 0,072 193 516 108 8 × 2 = 0 + 0,144 387 032 217 6;
  • 10) 0,144 387 032 217 6 × 2 = 0 + 0,288 774 064 435 2;
  • 11) 0,288 774 064 435 2 × 2 = 0 + 0,577 548 128 870 4;
  • 12) 0,577 548 128 870 4 × 2 = 1 + 0,155 096 257 740 8;
  • 13) 0,155 096 257 740 8 × 2 = 0 + 0,310 192 515 481 6;
  • 14) 0,310 192 515 481 6 × 2 = 0 + 0,620 385 030 963 2;
  • 15) 0,620 385 030 963 2 × 2 = 1 + 0,240 770 061 926 4;
  • 16) 0,240 770 061 926 4 × 2 = 0 + 0,481 540 123 852 8;
  • 17) 0,481 540 123 852 8 × 2 = 0 + 0,963 080 247 705 6;
  • 18) 0,963 080 247 705 6 × 2 = 1 + 0,926 160 495 411 2;
  • 19) 0,926 160 495 411 2 × 2 = 1 + 0,852 320 990 822 4;
  • 20) 0,852 320 990 822 4 × 2 = 1 + 0,704 641 981 644 8;
  • 21) 0,704 641 981 644 8 × 2 = 1 + 0,409 283 963 289 6;
  • 22) 0,409 283 963 289 6 × 2 = 0 + 0,818 567 926 579 2;
  • 23) 0,818 567 926 579 2 × 2 = 1 + 0,637 135 853 158 4;
  • 24) 0,637 135 853 158 4 × 2 = 1 + 0,274 271 706 316 8;
  • 25) 0,274 271 706 316 8 × 2 = 0 + 0,548 543 412 633 6;
  • 26) 0,548 543 412 633 6 × 2 = 1 + 0,097 086 825 267 2;
  • 27) 0,097 086 825 267 2 × 2 = 0 + 0,194 173 650 534 4;
  • 28) 0,194 173 650 534 4 × 2 = 0 + 0,388 347 301 068 8;
  • 29) 0,388 347 301 068 8 × 2 = 0 + 0,776 694 602 137 6;
  • 30) 0,776 694 602 137 6 × 2 = 1 + 0,553 389 204 275 2;
  • 31) 0,553 389 204 275 2 × 2 = 1 + 0,106 778 408 550 4;
  • 32) 0,106 778 408 550 4 × 2 = 0 + 0,213 556 817 100 8;
  • 33) 0,213 556 817 100 8 × 2 = 0 + 0,427 113 634 201 6;
  • 34) 0,427 113 634 201 6 × 2 = 0 + 0,854 227 268 403 2;
  • 35) 0,854 227 268 403 2 × 2 = 1 + 0,708 454 536 806 4;
  • 36) 0,708 454 536 806 4 × 2 = 1 + 0,416 909 073 612 8;
  • 37) 0,416 909 073 612 8 × 2 = 0 + 0,833 818 147 225 6;
  • 38) 0,833 818 147 225 6 × 2 = 1 + 0,667 636 294 451 2;
  • 39) 0,667 636 294 451 2 × 2 = 1 + 0,335 272 588 902 4;
  • 40) 0,335 272 588 902 4 × 2 = 0 + 0,670 545 177 804 8;
  • 41) 0,670 545 177 804 8 × 2 = 1 + 0,341 090 355 609 6;
  • 42) 0,341 090 355 609 6 × 2 = 0 + 0,682 180 711 219 2;
  • 43) 0,682 180 711 219 2 × 2 = 1 + 0,364 361 422 438 4;
  • 44) 0,364 361 422 438 4 × 2 = 0 + 0,728 722 844 876 8;
  • 45) 0,728 722 844 876 8 × 2 = 1 + 0,457 445 689 753 6;
  • 46) 0,457 445 689 753 6 × 2 = 0 + 0,914 891 379 507 2;
  • 47) 0,914 891 379 507 2 × 2 = 1 + 0,829 782 759 014 4;
  • 48) 0,829 782 759 014 4 × 2 = 1 + 0,659 565 518 028 8;
  • 49) 0,659 565 518 028 8 × 2 = 1 + 0,319 131 036 057 6;
  • 50) 0,319 131 036 057 6 × 2 = 0 + 0,638 262 072 115 2;
  • 51) 0,638 262 072 115 2 × 2 = 1 + 0,276 524 144 230 4;
  • 52) 0,276 524 144 230 4 × 2 = 0 + 0,553 048 288 460 8;
  • 53) 0,553 048 288 460 8 × 2 = 1 + 0,106 096 576 921 6;
  • 54) 0,106 096 576 921 6 × 2 = 0 + 0,212 193 153 843 2;
  • 55) 0,212 193 153 843 2 × 2 = 0 + 0,424 386 307 686 4;
  • 56) 0,424 386 307 686 4 × 2 = 0 + 0,848 772 615 372 8;
  • 57) 0,848 772 615 372 8 × 2 = 1 + 0,697 545 230 745 6;
  • 58) 0,697 545 230 745 6 × 2 = 1 + 0,395 090 461 491 2;
  • 59) 0,395 090 461 491 2 × 2 = 0 + 0,790 180 922 982 4;
  • 60) 0,790 180 922 982 4 × 2 = 1 + 0,580 361 845 964 8;
  • 61) 0,580 361 845 964 8 × 2 = 1 + 0,160 723 691 929 6;
  • 62) 0,160 723 691 929 6 × 2 = 0 + 0,321 447 383 859 2;
  • 63) 0,321 447 383 859 2 × 2 = 0 + 0,642 894 767 718 4;
  • 64) 0,642 894 767 718 4 × 2 = 1 + 0,285 789 535 436 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 922 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 922 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 922 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 922 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0110 1010 1011 1010 1000 1101 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 920 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100