-0,000 282 005 925 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 925 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 925 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 925 6| = 0,000 282 005 925 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 925 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 925 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 851 2;
  • 2) 0,000 564 011 851 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 702 4;
  • 3) 0,001 128 023 702 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 404 8;
  • 4) 0,002 256 047 404 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 809 6;
  • 5) 0,004 512 094 809 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 619 2;
  • 6) 0,009 024 189 619 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 238 4;
  • 7) 0,018 048 379 238 4 × 2 = 0 + 0,036 096 758 476 8;
  • 8) 0,036 096 758 476 8 × 2 = 0 + 0,072 193 516 953 6;
  • 9) 0,072 193 516 953 6 × 2 = 0 + 0,144 387 033 907 2;
  • 10) 0,144 387 033 907 2 × 2 = 0 + 0,288 774 067 814 4;
  • 11) 0,288 774 067 814 4 × 2 = 0 + 0,577 548 135 628 8;
  • 12) 0,577 548 135 628 8 × 2 = 1 + 0,155 096 271 257 6;
  • 13) 0,155 096 271 257 6 × 2 = 0 + 0,310 192 542 515 2;
  • 14) 0,310 192 542 515 2 × 2 = 0 + 0,620 385 085 030 4;
  • 15) 0,620 385 085 030 4 × 2 = 1 + 0,240 770 170 060 8;
  • 16) 0,240 770 170 060 8 × 2 = 0 + 0,481 540 340 121 6;
  • 17) 0,481 540 340 121 6 × 2 = 0 + 0,963 080 680 243 2;
  • 18) 0,963 080 680 243 2 × 2 = 1 + 0,926 161 360 486 4;
  • 19) 0,926 161 360 486 4 × 2 = 1 + 0,852 322 720 972 8;
  • 20) 0,852 322 720 972 8 × 2 = 1 + 0,704 645 441 945 6;
  • 21) 0,704 645 441 945 6 × 2 = 1 + 0,409 290 883 891 2;
  • 22) 0,409 290 883 891 2 × 2 = 0 + 0,818 581 767 782 4;
  • 23) 0,818 581 767 782 4 × 2 = 1 + 0,637 163 535 564 8;
  • 24) 0,637 163 535 564 8 × 2 = 1 + 0,274 327 071 129 6;
  • 25) 0,274 327 071 129 6 × 2 = 0 + 0,548 654 142 259 2;
  • 26) 0,548 654 142 259 2 × 2 = 1 + 0,097 308 284 518 4;
  • 27) 0,097 308 284 518 4 × 2 = 0 + 0,194 616 569 036 8;
  • 28) 0,194 616 569 036 8 × 2 = 0 + 0,389 233 138 073 6;
  • 29) 0,389 233 138 073 6 × 2 = 0 + 0,778 466 276 147 2;
  • 30) 0,778 466 276 147 2 × 2 = 1 + 0,556 932 552 294 4;
  • 31) 0,556 932 552 294 4 × 2 = 1 + 0,113 865 104 588 8;
  • 32) 0,113 865 104 588 8 × 2 = 0 + 0,227 730 209 177 6;
  • 33) 0,227 730 209 177 6 × 2 = 0 + 0,455 460 418 355 2;
  • 34) 0,455 460 418 355 2 × 2 = 0 + 0,910 920 836 710 4;
  • 35) 0,910 920 836 710 4 × 2 = 1 + 0,821 841 673 420 8;
  • 36) 0,821 841 673 420 8 × 2 = 1 + 0,643 683 346 841 6;
  • 37) 0,643 683 346 841 6 × 2 = 1 + 0,287 366 693 683 2;
  • 38) 0,287 366 693 683 2 × 2 = 0 + 0,574 733 387 366 4;
  • 39) 0,574 733 387 366 4 × 2 = 1 + 0,149 466 774 732 8;
  • 40) 0,149 466 774 732 8 × 2 = 0 + 0,298 933 549 465 6;
  • 41) 0,298 933 549 465 6 × 2 = 0 + 0,597 867 098 931 2;
  • 42) 0,597 867 098 931 2 × 2 = 1 + 0,195 734 197 862 4;
  • 43) 0,195 734 197 862 4 × 2 = 0 + 0,391 468 395 724 8;
  • 44) 0,391 468 395 724 8 × 2 = 0 + 0,782 936 791 449 6;
  • 45) 0,782 936 791 449 6 × 2 = 1 + 0,565 873 582 899 2;
  • 46) 0,565 873 582 899 2 × 2 = 1 + 0,131 747 165 798 4;
  • 47) 0,131 747 165 798 4 × 2 = 0 + 0,263 494 331 596 8;
  • 48) 0,263 494 331 596 8 × 2 = 0 + 0,526 988 663 193 6;
  • 49) 0,526 988 663 193 6 × 2 = 1 + 0,053 977 326 387 2;
  • 50) 0,053 977 326 387 2 × 2 = 0 + 0,107 954 652 774 4;
  • 51) 0,107 954 652 774 4 × 2 = 0 + 0,215 909 305 548 8;
  • 52) 0,215 909 305 548 8 × 2 = 0 + 0,431 818 611 097 6;
  • 53) 0,431 818 611 097 6 × 2 = 0 + 0,863 637 222 195 2;
  • 54) 0,863 637 222 195 2 × 2 = 1 + 0,727 274 444 390 4;
  • 55) 0,727 274 444 390 4 × 2 = 1 + 0,454 548 888 780 8;
  • 56) 0,454 548 888 780 8 × 2 = 0 + 0,909 097 777 561 6;
  • 57) 0,909 097 777 561 6 × 2 = 1 + 0,818 195 555 123 2;
  • 58) 0,818 195 555 123 2 × 2 = 1 + 0,636 391 110 246 4;
  • 59) 0,636 391 110 246 4 × 2 = 1 + 0,272 782 220 492 8;
  • 60) 0,272 782 220 492 8 × 2 = 0 + 0,545 564 440 985 6;
  • 61) 0,545 564 440 985 6 × 2 = 1 + 0,091 128 881 971 2;
  • 62) 0,091 128 881 971 2 × 2 = 0 + 0,182 257 763 942 4;
  • 63) 0,182 257 763 942 4 × 2 = 0 + 0,364 515 527 884 8;
  • 64) 0,364 515 527 884 8 × 2 = 0 + 0,729 031 055 769 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 925 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 925 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 925 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 925 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 0100 1100 1000 0110 1110 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 923 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100