-0,000 282 005 926 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 926 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 926 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 926 2| = 0,000 282 005 926 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 926 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 926 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 852 4;
  • 2) 0,000 564 011 852 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 704 8;
  • 3) 0,001 128 023 704 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 409 6;
  • 4) 0,002 256 047 409 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 819 2;
  • 5) 0,004 512 094 819 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 638 4;
  • 6) 0,009 024 189 638 4 × 2 = 0 + 0,018 048 379 276 8;
  • 7) 0,018 048 379 276 8 × 2 = 0 + 0,036 096 758 553 6;
  • 8) 0,036 096 758 553 6 × 2 = 0 + 0,072 193 517 107 2;
  • 9) 0,072 193 517 107 2 × 2 = 0 + 0,144 387 034 214 4;
  • 10) 0,144 387 034 214 4 × 2 = 0 + 0,288 774 068 428 8;
  • 11) 0,288 774 068 428 8 × 2 = 0 + 0,577 548 136 857 6;
  • 12) 0,577 548 136 857 6 × 2 = 1 + 0,155 096 273 715 2;
  • 13) 0,155 096 273 715 2 × 2 = 0 + 0,310 192 547 430 4;
  • 14) 0,310 192 547 430 4 × 2 = 0 + 0,620 385 094 860 8;
  • 15) 0,620 385 094 860 8 × 2 = 1 + 0,240 770 189 721 6;
  • 16) 0,240 770 189 721 6 × 2 = 0 + 0,481 540 379 443 2;
  • 17) 0,481 540 379 443 2 × 2 = 0 + 0,963 080 758 886 4;
  • 18) 0,963 080 758 886 4 × 2 = 1 + 0,926 161 517 772 8;
  • 19) 0,926 161 517 772 8 × 2 = 1 + 0,852 323 035 545 6;
  • 20) 0,852 323 035 545 6 × 2 = 1 + 0,704 646 071 091 2;
  • 21) 0,704 646 071 091 2 × 2 = 1 + 0,409 292 142 182 4;
  • 22) 0,409 292 142 182 4 × 2 = 0 + 0,818 584 284 364 8;
  • 23) 0,818 584 284 364 8 × 2 = 1 + 0,637 168 568 729 6;
  • 24) 0,637 168 568 729 6 × 2 = 1 + 0,274 337 137 459 2;
  • 25) 0,274 337 137 459 2 × 2 = 0 + 0,548 674 274 918 4;
  • 26) 0,548 674 274 918 4 × 2 = 1 + 0,097 348 549 836 8;
  • 27) 0,097 348 549 836 8 × 2 = 0 + 0,194 697 099 673 6;
  • 28) 0,194 697 099 673 6 × 2 = 0 + 0,389 394 199 347 2;
  • 29) 0,389 394 199 347 2 × 2 = 0 + 0,778 788 398 694 4;
  • 30) 0,778 788 398 694 4 × 2 = 1 + 0,557 576 797 388 8;
  • 31) 0,557 576 797 388 8 × 2 = 1 + 0,115 153 594 777 6;
  • 32) 0,115 153 594 777 6 × 2 = 0 + 0,230 307 189 555 2;
  • 33) 0,230 307 189 555 2 × 2 = 0 + 0,460 614 379 110 4;
  • 34) 0,460 614 379 110 4 × 2 = 0 + 0,921 228 758 220 8;
  • 35) 0,921 228 758 220 8 × 2 = 1 + 0,842 457 516 441 6;
  • 36) 0,842 457 516 441 6 × 2 = 1 + 0,684 915 032 883 2;
  • 37) 0,684 915 032 883 2 × 2 = 1 + 0,369 830 065 766 4;
  • 38) 0,369 830 065 766 4 × 2 = 0 + 0,739 660 131 532 8;
  • 39) 0,739 660 131 532 8 × 2 = 1 + 0,479 320 263 065 6;
  • 40) 0,479 320 263 065 6 × 2 = 0 + 0,958 640 526 131 2;
  • 41) 0,958 640 526 131 2 × 2 = 1 + 0,917 281 052 262 4;
  • 42) 0,917 281 052 262 4 × 2 = 1 + 0,834 562 104 524 8;
  • 43) 0,834 562 104 524 8 × 2 = 1 + 0,669 124 209 049 6;
  • 44) 0,669 124 209 049 6 × 2 = 1 + 0,338 248 418 099 2;
  • 45) 0,338 248 418 099 2 × 2 = 0 + 0,676 496 836 198 4;
  • 46) 0,676 496 836 198 4 × 2 = 1 + 0,352 993 672 396 8;
  • 47) 0,352 993 672 396 8 × 2 = 0 + 0,705 987 344 793 6;
  • 48) 0,705 987 344 793 6 × 2 = 1 + 0,411 974 689 587 2;
  • 49) 0,411 974 689 587 2 × 2 = 0 + 0,823 949 379 174 4;
  • 50) 0,823 949 379 174 4 × 2 = 1 + 0,647 898 758 348 8;
  • 51) 0,647 898 758 348 8 × 2 = 1 + 0,295 797 516 697 6;
  • 52) 0,295 797 516 697 6 × 2 = 0 + 0,591 595 033 395 2;
  • 53) 0,591 595 033 395 2 × 2 = 1 + 0,183 190 066 790 4;
  • 54) 0,183 190 066 790 4 × 2 = 0 + 0,366 380 133 580 8;
  • 55) 0,366 380 133 580 8 × 2 = 0 + 0,732 760 267 161 6;
  • 56) 0,732 760 267 161 6 × 2 = 1 + 0,465 520 534 323 2;
  • 57) 0,465 520 534 323 2 × 2 = 0 + 0,931 041 068 646 4;
  • 58) 0,931 041 068 646 4 × 2 = 1 + 0,862 082 137 292 8;
  • 59) 0,862 082 137 292 8 × 2 = 1 + 0,724 164 274 585 6;
  • 60) 0,724 164 274 585 6 × 2 = 1 + 0,448 328 549 171 2;
  • 61) 0,448 328 549 171 2 × 2 = 0 + 0,896 657 098 342 4;
  • 62) 0,896 657 098 342 4 × 2 = 1 + 0,793 314 196 684 8;
  • 63) 0,793 314 196 684 8 × 2 = 1 + 0,586 628 393 369 6;
  • 64) 0,586 628 393 369 6 × 2 = 1 + 0,173 256 786 739 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 926 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 926 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 926 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 926 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1010 1111 0101 0110 1001 0111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 930 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100