-0,000 282 005 927 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 927 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 927 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 927 1| = 0,000 282 005 927 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 927 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 927 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 854 2;
  • 2) 0,000 564 011 854 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 708 4;
  • 3) 0,001 128 023 708 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 416 8;
  • 4) 0,002 256 047 416 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 833 6;
  • 5) 0,004 512 094 833 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 667 2;
  • 6) 0,009 024 189 667 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 334 4;
  • 7) 0,018 048 379 334 4 × 2 = 0 + 0,036 096 758 668 8;
  • 8) 0,036 096 758 668 8 × 2 = 0 + 0,072 193 517 337 6;
  • 9) 0,072 193 517 337 6 × 2 = 0 + 0,144 387 034 675 2;
  • 10) 0,144 387 034 675 2 × 2 = 0 + 0,288 774 069 350 4;
  • 11) 0,288 774 069 350 4 × 2 = 0 + 0,577 548 138 700 8;
  • 12) 0,577 548 138 700 8 × 2 = 1 + 0,155 096 277 401 6;
  • 13) 0,155 096 277 401 6 × 2 = 0 + 0,310 192 554 803 2;
  • 14) 0,310 192 554 803 2 × 2 = 0 + 0,620 385 109 606 4;
  • 15) 0,620 385 109 606 4 × 2 = 1 + 0,240 770 219 212 8;
  • 16) 0,240 770 219 212 8 × 2 = 0 + 0,481 540 438 425 6;
  • 17) 0,481 540 438 425 6 × 2 = 0 + 0,963 080 876 851 2;
  • 18) 0,963 080 876 851 2 × 2 = 1 + 0,926 161 753 702 4;
  • 19) 0,926 161 753 702 4 × 2 = 1 + 0,852 323 507 404 8;
  • 20) 0,852 323 507 404 8 × 2 = 1 + 0,704 647 014 809 6;
  • 21) 0,704 647 014 809 6 × 2 = 1 + 0,409 294 029 619 2;
  • 22) 0,409 294 029 619 2 × 2 = 0 + 0,818 588 059 238 4;
  • 23) 0,818 588 059 238 4 × 2 = 1 + 0,637 176 118 476 8;
  • 24) 0,637 176 118 476 8 × 2 = 1 + 0,274 352 236 953 6;
  • 25) 0,274 352 236 953 6 × 2 = 0 + 0,548 704 473 907 2;
  • 26) 0,548 704 473 907 2 × 2 = 1 + 0,097 408 947 814 4;
  • 27) 0,097 408 947 814 4 × 2 = 0 + 0,194 817 895 628 8;
  • 28) 0,194 817 895 628 8 × 2 = 0 + 0,389 635 791 257 6;
  • 29) 0,389 635 791 257 6 × 2 = 0 + 0,779 271 582 515 2;
  • 30) 0,779 271 582 515 2 × 2 = 1 + 0,558 543 165 030 4;
  • 31) 0,558 543 165 030 4 × 2 = 1 + 0,117 086 330 060 8;
  • 32) 0,117 086 330 060 8 × 2 = 0 + 0,234 172 660 121 6;
  • 33) 0,234 172 660 121 6 × 2 = 0 + 0,468 345 320 243 2;
  • 34) 0,468 345 320 243 2 × 2 = 0 + 0,936 690 640 486 4;
  • 35) 0,936 690 640 486 4 × 2 = 1 + 0,873 381 280 972 8;
  • 36) 0,873 381 280 972 8 × 2 = 1 + 0,746 762 561 945 6;
  • 37) 0,746 762 561 945 6 × 2 = 1 + 0,493 525 123 891 2;
  • 38) 0,493 525 123 891 2 × 2 = 0 + 0,987 050 247 782 4;
  • 39) 0,987 050 247 782 4 × 2 = 1 + 0,974 100 495 564 8;
  • 40) 0,974 100 495 564 8 × 2 = 1 + 0,948 200 991 129 6;
  • 41) 0,948 200 991 129 6 × 2 = 1 + 0,896 401 982 259 2;
  • 42) 0,896 401 982 259 2 × 2 = 1 + 0,792 803 964 518 4;
  • 43) 0,792 803 964 518 4 × 2 = 1 + 0,585 607 929 036 8;
  • 44) 0,585 607 929 036 8 × 2 = 1 + 0,171 215 858 073 6;
  • 45) 0,171 215 858 073 6 × 2 = 0 + 0,342 431 716 147 2;
  • 46) 0,342 431 716 147 2 × 2 = 0 + 0,684 863 432 294 4;
  • 47) 0,684 863 432 294 4 × 2 = 1 + 0,369 726 864 588 8;
  • 48) 0,369 726 864 588 8 × 2 = 0 + 0,739 453 729 177 6;
  • 49) 0,739 453 729 177 6 × 2 = 1 + 0,478 907 458 355 2;
  • 50) 0,478 907 458 355 2 × 2 = 0 + 0,957 814 916 710 4;
  • 51) 0,957 814 916 710 4 × 2 = 1 + 0,915 629 833 420 8;
  • 52) 0,915 629 833 420 8 × 2 = 1 + 0,831 259 666 841 6;
  • 53) 0,831 259 666 841 6 × 2 = 1 + 0,662 519 333 683 2;
  • 54) 0,662 519 333 683 2 × 2 = 1 + 0,325 038 667 366 4;
  • 55) 0,325 038 667 366 4 × 2 = 0 + 0,650 077 334 732 8;
  • 56) 0,650 077 334 732 8 × 2 = 1 + 0,300 154 669 465 6;
  • 57) 0,300 154 669 465 6 × 2 = 0 + 0,600 309 338 931 2;
  • 58) 0,600 309 338 931 2 × 2 = 1 + 0,200 618 677 862 4;
  • 59) 0,200 618 677 862 4 × 2 = 0 + 0,401 237 355 724 8;
  • 60) 0,401 237 355 724 8 × 2 = 0 + 0,802 474 711 449 6;
  • 61) 0,802 474 711 449 6 × 2 = 1 + 0,604 949 422 899 2;
  • 62) 0,604 949 422 899 2 × 2 = 1 + 0,209 898 845 798 4;
  • 63) 0,209 898 845 798 4 × 2 = 0 + 0,419 797 691 596 8;
  • 64) 0,419 797 691 596 8 × 2 = 0 + 0,839 595 383 193 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 927 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 927 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 927 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 927 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1011 1111 0010 1011 1101 0100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 919 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100