-0,000 282 005 928 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 928 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 928 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 928 6| = 0,000 282 005 928 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 928 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 928 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 857 2;
  • 2) 0,000 564 011 857 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 714 4;
  • 3) 0,001 128 023 714 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 428 8;
  • 4) 0,002 256 047 428 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 857 6;
  • 5) 0,004 512 094 857 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 715 2;
  • 6) 0,009 024 189 715 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 430 4;
  • 7) 0,018 048 379 430 4 × 2 = 0 + 0,036 096 758 860 8;
  • 8) 0,036 096 758 860 8 × 2 = 0 + 0,072 193 517 721 6;
  • 9) 0,072 193 517 721 6 × 2 = 0 + 0,144 387 035 443 2;
  • 10) 0,144 387 035 443 2 × 2 = 0 + 0,288 774 070 886 4;
  • 11) 0,288 774 070 886 4 × 2 = 0 + 0,577 548 141 772 8;
  • 12) 0,577 548 141 772 8 × 2 = 1 + 0,155 096 283 545 6;
  • 13) 0,155 096 283 545 6 × 2 = 0 + 0,310 192 567 091 2;
  • 14) 0,310 192 567 091 2 × 2 = 0 + 0,620 385 134 182 4;
  • 15) 0,620 385 134 182 4 × 2 = 1 + 0,240 770 268 364 8;
  • 16) 0,240 770 268 364 8 × 2 = 0 + 0,481 540 536 729 6;
  • 17) 0,481 540 536 729 6 × 2 = 0 + 0,963 081 073 459 2;
  • 18) 0,963 081 073 459 2 × 2 = 1 + 0,926 162 146 918 4;
  • 19) 0,926 162 146 918 4 × 2 = 1 + 0,852 324 293 836 8;
  • 20) 0,852 324 293 836 8 × 2 = 1 + 0,704 648 587 673 6;
  • 21) 0,704 648 587 673 6 × 2 = 1 + 0,409 297 175 347 2;
  • 22) 0,409 297 175 347 2 × 2 = 0 + 0,818 594 350 694 4;
  • 23) 0,818 594 350 694 4 × 2 = 1 + 0,637 188 701 388 8;
  • 24) 0,637 188 701 388 8 × 2 = 1 + 0,274 377 402 777 6;
  • 25) 0,274 377 402 777 6 × 2 = 0 + 0,548 754 805 555 2;
  • 26) 0,548 754 805 555 2 × 2 = 1 + 0,097 509 611 110 4;
  • 27) 0,097 509 611 110 4 × 2 = 0 + 0,195 019 222 220 8;
  • 28) 0,195 019 222 220 8 × 2 = 0 + 0,390 038 444 441 6;
  • 29) 0,390 038 444 441 6 × 2 = 0 + 0,780 076 888 883 2;
  • 30) 0,780 076 888 883 2 × 2 = 1 + 0,560 153 777 766 4;
  • 31) 0,560 153 777 766 4 × 2 = 1 + 0,120 307 555 532 8;
  • 32) 0,120 307 555 532 8 × 2 = 0 + 0,240 615 111 065 6;
  • 33) 0,240 615 111 065 6 × 2 = 0 + 0,481 230 222 131 2;
  • 34) 0,481 230 222 131 2 × 2 = 0 + 0,962 460 444 262 4;
  • 35) 0,962 460 444 262 4 × 2 = 1 + 0,924 920 888 524 8;
  • 36) 0,924 920 888 524 8 × 2 = 1 + 0,849 841 777 049 6;
  • 37) 0,849 841 777 049 6 × 2 = 1 + 0,699 683 554 099 2;
  • 38) 0,699 683 554 099 2 × 2 = 1 + 0,399 367 108 198 4;
  • 39) 0,399 367 108 198 4 × 2 = 0 + 0,798 734 216 396 8;
  • 40) 0,798 734 216 396 8 × 2 = 1 + 0,597 468 432 793 6;
  • 41) 0,597 468 432 793 6 × 2 = 1 + 0,194 936 865 587 2;
  • 42) 0,194 936 865 587 2 × 2 = 0 + 0,389 873 731 174 4;
  • 43) 0,389 873 731 174 4 × 2 = 0 + 0,779 747 462 348 8;
  • 44) 0,779 747 462 348 8 × 2 = 1 + 0,559 494 924 697 6;
  • 45) 0,559 494 924 697 6 × 2 = 1 + 0,118 989 849 395 2;
  • 46) 0,118 989 849 395 2 × 2 = 0 + 0,237 979 698 790 4;
  • 47) 0,237 979 698 790 4 × 2 = 0 + 0,475 959 397 580 8;
  • 48) 0,475 959 397 580 8 × 2 = 0 + 0,951 918 795 161 6;
  • 49) 0,951 918 795 161 6 × 2 = 1 + 0,903 837 590 323 2;
  • 50) 0,903 837 590 323 2 × 2 = 1 + 0,807 675 180 646 4;
  • 51) 0,807 675 180 646 4 × 2 = 1 + 0,615 350 361 292 8;
  • 52) 0,615 350 361 292 8 × 2 = 1 + 0,230 700 722 585 6;
  • 53) 0,230 700 722 585 6 × 2 = 0 + 0,461 401 445 171 2;
  • 54) 0,461 401 445 171 2 × 2 = 0 + 0,922 802 890 342 4;
  • 55) 0,922 802 890 342 4 × 2 = 1 + 0,845 605 780 684 8;
  • 56) 0,845 605 780 684 8 × 2 = 1 + 0,691 211 561 369 6;
  • 57) 0,691 211 561 369 6 × 2 = 1 + 0,382 423 122 739 2;
  • 58) 0,382 423 122 739 2 × 2 = 0 + 0,764 846 245 478 4;
  • 59) 0,764 846 245 478 4 × 2 = 1 + 0,529 692 490 956 8;
  • 60) 0,529 692 490 956 8 × 2 = 1 + 0,059 384 981 913 6;
  • 61) 0,059 384 981 913 6 × 2 = 0 + 0,118 769 963 827 2;
  • 62) 0,118 769 963 827 2 × 2 = 0 + 0,237 539 927 654 4;
  • 63) 0,237 539 927 654 4 × 2 = 0 + 0,475 079 855 308 8;
  • 64) 0,475 079 855 308 8 × 2 = 0 + 0,950 159 710 617 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 928 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 928 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 928 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 928 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1001 1000 1111 0011 1011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 932 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100