-0,000 282 005 928 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 928 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 928 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 928 7| = 0,000 282 005 928 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 928 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 928 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 857 4;
  • 2) 0,000 564 011 857 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 714 8;
  • 3) 0,001 128 023 714 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 429 6;
  • 4) 0,002 256 047 429 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 859 2;
  • 5) 0,004 512 094 859 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 718 4;
  • 6) 0,009 024 189 718 4 × 2 = 0 + 0,018 048 379 436 8;
  • 7) 0,018 048 379 436 8 × 2 = 0 + 0,036 096 758 873 6;
  • 8) 0,036 096 758 873 6 × 2 = 0 + 0,072 193 517 747 2;
  • 9) 0,072 193 517 747 2 × 2 = 0 + 0,144 387 035 494 4;
  • 10) 0,144 387 035 494 4 × 2 = 0 + 0,288 774 070 988 8;
  • 11) 0,288 774 070 988 8 × 2 = 0 + 0,577 548 141 977 6;
  • 12) 0,577 548 141 977 6 × 2 = 1 + 0,155 096 283 955 2;
  • 13) 0,155 096 283 955 2 × 2 = 0 + 0,310 192 567 910 4;
  • 14) 0,310 192 567 910 4 × 2 = 0 + 0,620 385 135 820 8;
  • 15) 0,620 385 135 820 8 × 2 = 1 + 0,240 770 271 641 6;
  • 16) 0,240 770 271 641 6 × 2 = 0 + 0,481 540 543 283 2;
  • 17) 0,481 540 543 283 2 × 2 = 0 + 0,963 081 086 566 4;
  • 18) 0,963 081 086 566 4 × 2 = 1 + 0,926 162 173 132 8;
  • 19) 0,926 162 173 132 8 × 2 = 1 + 0,852 324 346 265 6;
  • 20) 0,852 324 346 265 6 × 2 = 1 + 0,704 648 692 531 2;
  • 21) 0,704 648 692 531 2 × 2 = 1 + 0,409 297 385 062 4;
  • 22) 0,409 297 385 062 4 × 2 = 0 + 0,818 594 770 124 8;
  • 23) 0,818 594 770 124 8 × 2 = 1 + 0,637 189 540 249 6;
  • 24) 0,637 189 540 249 6 × 2 = 1 + 0,274 379 080 499 2;
  • 25) 0,274 379 080 499 2 × 2 = 0 + 0,548 758 160 998 4;
  • 26) 0,548 758 160 998 4 × 2 = 1 + 0,097 516 321 996 8;
  • 27) 0,097 516 321 996 8 × 2 = 0 + 0,195 032 643 993 6;
  • 28) 0,195 032 643 993 6 × 2 = 0 + 0,390 065 287 987 2;
  • 29) 0,390 065 287 987 2 × 2 = 0 + 0,780 130 575 974 4;
  • 30) 0,780 130 575 974 4 × 2 = 1 + 0,560 261 151 948 8;
  • 31) 0,560 261 151 948 8 × 2 = 1 + 0,120 522 303 897 6;
  • 32) 0,120 522 303 897 6 × 2 = 0 + 0,241 044 607 795 2;
  • 33) 0,241 044 607 795 2 × 2 = 0 + 0,482 089 215 590 4;
  • 34) 0,482 089 215 590 4 × 2 = 0 + 0,964 178 431 180 8;
  • 35) 0,964 178 431 180 8 × 2 = 1 + 0,928 356 862 361 6;
  • 36) 0,928 356 862 361 6 × 2 = 1 + 0,856 713 724 723 2;
  • 37) 0,856 713 724 723 2 × 2 = 1 + 0,713 427 449 446 4;
  • 38) 0,713 427 449 446 4 × 2 = 1 + 0,426 854 898 892 8;
  • 39) 0,426 854 898 892 8 × 2 = 0 + 0,853 709 797 785 6;
  • 40) 0,853 709 797 785 6 × 2 = 1 + 0,707 419 595 571 2;
  • 41) 0,707 419 595 571 2 × 2 = 1 + 0,414 839 191 142 4;
  • 42) 0,414 839 191 142 4 × 2 = 0 + 0,829 678 382 284 8;
  • 43) 0,829 678 382 284 8 × 2 = 1 + 0,659 356 764 569 6;
  • 44) 0,659 356 764 569 6 × 2 = 1 + 0,318 713 529 139 2;
  • 45) 0,318 713 529 139 2 × 2 = 0 + 0,637 427 058 278 4;
  • 46) 0,637 427 058 278 4 × 2 = 1 + 0,274 854 116 556 8;
  • 47) 0,274 854 116 556 8 × 2 = 0 + 0,549 708 233 113 6;
  • 48) 0,549 708 233 113 6 × 2 = 1 + 0,099 416 466 227 2;
  • 49) 0,099 416 466 227 2 × 2 = 0 + 0,198 832 932 454 4;
  • 50) 0,198 832 932 454 4 × 2 = 0 + 0,397 665 864 908 8;
  • 51) 0,397 665 864 908 8 × 2 = 0 + 0,795 331 729 817 6;
  • 52) 0,795 331 729 817 6 × 2 = 1 + 0,590 663 459 635 2;
  • 53) 0,590 663 459 635 2 × 2 = 1 + 0,181 326 919 270 4;
  • 54) 0,181 326 919 270 4 × 2 = 0 + 0,362 653 838 540 8;
  • 55) 0,362 653 838 540 8 × 2 = 0 + 0,725 307 677 081 6;
  • 56) 0,725 307 677 081 6 × 2 = 1 + 0,450 615 354 163 2;
  • 57) 0,450 615 354 163 2 × 2 = 0 + 0,901 230 708 326 4;
  • 58) 0,901 230 708 326 4 × 2 = 1 + 0,802 461 416 652 8;
  • 59) 0,802 461 416 652 8 × 2 = 1 + 0,604 922 833 305 6;
  • 60) 0,604 922 833 305 6 × 2 = 1 + 0,209 845 666 611 2;
  • 61) 0,209 845 666 611 2 × 2 = 0 + 0,419 691 333 222 4;
  • 62) 0,419 691 333 222 4 × 2 = 0 + 0,839 382 666 444 8;
  • 63) 0,839 382 666 444 8 × 2 = 1 + 0,678 765 332 889 6;
  • 64) 0,678 765 332 889 6 × 2 = 1 + 0,357 530 665 779 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 928 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 928 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 928 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 928 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1101 1011 0101 0001 1001 0111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 926 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100