-0,000 282 005 929 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 929 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 929 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 929 4| = 0,000 282 005 929 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 929 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 929 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 858 8;
  • 2) 0,000 564 011 858 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 717 6;
  • 3) 0,001 128 023 717 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 435 2;
  • 4) 0,002 256 047 435 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 870 4;
  • 5) 0,004 512 094 870 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 740 8;
  • 6) 0,009 024 189 740 8 × 2 = 0 + 0,018 048 379 481 6;
  • 7) 0,018 048 379 481 6 × 2 = 0 + 0,036 096 758 963 2;
  • 8) 0,036 096 758 963 2 × 2 = 0 + 0,072 193 517 926 4;
  • 9) 0,072 193 517 926 4 × 2 = 0 + 0,144 387 035 852 8;
  • 10) 0,144 387 035 852 8 × 2 = 0 + 0,288 774 071 705 6;
  • 11) 0,288 774 071 705 6 × 2 = 0 + 0,577 548 143 411 2;
  • 12) 0,577 548 143 411 2 × 2 = 1 + 0,155 096 286 822 4;
  • 13) 0,155 096 286 822 4 × 2 = 0 + 0,310 192 573 644 8;
  • 14) 0,310 192 573 644 8 × 2 = 0 + 0,620 385 147 289 6;
  • 15) 0,620 385 147 289 6 × 2 = 1 + 0,240 770 294 579 2;
  • 16) 0,240 770 294 579 2 × 2 = 0 + 0,481 540 589 158 4;
  • 17) 0,481 540 589 158 4 × 2 = 0 + 0,963 081 178 316 8;
  • 18) 0,963 081 178 316 8 × 2 = 1 + 0,926 162 356 633 6;
  • 19) 0,926 162 356 633 6 × 2 = 1 + 0,852 324 713 267 2;
  • 20) 0,852 324 713 267 2 × 2 = 1 + 0,704 649 426 534 4;
  • 21) 0,704 649 426 534 4 × 2 = 1 + 0,409 298 853 068 8;
  • 22) 0,409 298 853 068 8 × 2 = 0 + 0,818 597 706 137 6;
  • 23) 0,818 597 706 137 6 × 2 = 1 + 0,637 195 412 275 2;
  • 24) 0,637 195 412 275 2 × 2 = 1 + 0,274 390 824 550 4;
  • 25) 0,274 390 824 550 4 × 2 = 0 + 0,548 781 649 100 8;
  • 26) 0,548 781 649 100 8 × 2 = 1 + 0,097 563 298 201 6;
  • 27) 0,097 563 298 201 6 × 2 = 0 + 0,195 126 596 403 2;
  • 28) 0,195 126 596 403 2 × 2 = 0 + 0,390 253 192 806 4;
  • 29) 0,390 253 192 806 4 × 2 = 0 + 0,780 506 385 612 8;
  • 30) 0,780 506 385 612 8 × 2 = 1 + 0,561 012 771 225 6;
  • 31) 0,561 012 771 225 6 × 2 = 1 + 0,122 025 542 451 2;
  • 32) 0,122 025 542 451 2 × 2 = 0 + 0,244 051 084 902 4;
  • 33) 0,244 051 084 902 4 × 2 = 0 + 0,488 102 169 804 8;
  • 34) 0,488 102 169 804 8 × 2 = 0 + 0,976 204 339 609 6;
  • 35) 0,976 204 339 609 6 × 2 = 1 + 0,952 408 679 219 2;
  • 36) 0,952 408 679 219 2 × 2 = 1 + 0,904 817 358 438 4;
  • 37) 0,904 817 358 438 4 × 2 = 1 + 0,809 634 716 876 8;
  • 38) 0,809 634 716 876 8 × 2 = 1 + 0,619 269 433 753 6;
  • 39) 0,619 269 433 753 6 × 2 = 1 + 0,238 538 867 507 2;
  • 40) 0,238 538 867 507 2 × 2 = 0 + 0,477 077 735 014 4;
  • 41) 0,477 077 735 014 4 × 2 = 0 + 0,954 155 470 028 8;
  • 42) 0,954 155 470 028 8 × 2 = 1 + 0,908 310 940 057 6;
  • 43) 0,908 310 940 057 6 × 2 = 1 + 0,816 621 880 115 2;
  • 44) 0,816 621 880 115 2 × 2 = 1 + 0,633 243 760 230 4;
  • 45) 0,633 243 760 230 4 × 2 = 1 + 0,266 487 520 460 8;
  • 46) 0,266 487 520 460 8 × 2 = 0 + 0,532 975 040 921 6;
  • 47) 0,532 975 040 921 6 × 2 = 1 + 0,065 950 081 843 2;
  • 48) 0,065 950 081 843 2 × 2 = 0 + 0,131 900 163 686 4;
  • 49) 0,131 900 163 686 4 × 2 = 0 + 0,263 800 327 372 8;
  • 50) 0,263 800 327 372 8 × 2 = 0 + 0,527 600 654 745 6;
  • 51) 0,527 600 654 745 6 × 2 = 1 + 0,055 201 309 491 2;
  • 52) 0,055 201 309 491 2 × 2 = 0 + 0,110 402 618 982 4;
  • 53) 0,110 402 618 982 4 × 2 = 0 + 0,220 805 237 964 8;
  • 54) 0,220 805 237 964 8 × 2 = 0 + 0,441 610 475 929 6;
  • 55) 0,441 610 475 929 6 × 2 = 0 + 0,883 220 951 859 2;
  • 56) 0,883 220 951 859 2 × 2 = 1 + 0,766 441 903 718 4;
  • 57) 0,766 441 903 718 4 × 2 = 1 + 0,532 883 807 436 8;
  • 58) 0,532 883 807 436 8 × 2 = 1 + 0,065 767 614 873 6;
  • 59) 0,065 767 614 873 6 × 2 = 0 + 0,131 535 229 747 2;
  • 60) 0,131 535 229 747 2 × 2 = 0 + 0,263 070 459 494 4;
  • 61) 0,263 070 459 494 4 × 2 = 0 + 0,526 140 918 988 8;
  • 62) 0,526 140 918 988 8 × 2 = 1 + 0,052 281 837 977 6;
  • 63) 0,052 281 837 977 6 × 2 = 0 + 0,104 563 675 955 2;
  • 64) 0,104 563 675 955 2 × 2 = 0 + 0,209 127 351 910 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 929 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 929 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 929 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 929 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 1110 0111 1010 0010 0001 1100 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 939 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100