-0,000 282 005 935 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 935 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 935 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 935 6| = 0,000 282 005 935 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 935 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 935 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 871 2;
  • 2) 0,000 564 011 871 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 742 4;
  • 3) 0,001 128 023 742 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 484 8;
  • 4) 0,002 256 047 484 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 969 6;
  • 5) 0,004 512 094 969 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 939 2;
  • 6) 0,009 024 189 939 2 × 2 = 0 + 0,018 048 379 878 4;
  • 7) 0,018 048 379 878 4 × 2 = 0 + 0,036 096 759 756 8;
  • 8) 0,036 096 759 756 8 × 2 = 0 + 0,072 193 519 513 6;
  • 9) 0,072 193 519 513 6 × 2 = 0 + 0,144 387 039 027 2;
  • 10) 0,144 387 039 027 2 × 2 = 0 + 0,288 774 078 054 4;
  • 11) 0,288 774 078 054 4 × 2 = 0 + 0,577 548 156 108 8;
  • 12) 0,577 548 156 108 8 × 2 = 1 + 0,155 096 312 217 6;
  • 13) 0,155 096 312 217 6 × 2 = 0 + 0,310 192 624 435 2;
  • 14) 0,310 192 624 435 2 × 2 = 0 + 0,620 385 248 870 4;
  • 15) 0,620 385 248 870 4 × 2 = 1 + 0,240 770 497 740 8;
  • 16) 0,240 770 497 740 8 × 2 = 0 + 0,481 540 995 481 6;
  • 17) 0,481 540 995 481 6 × 2 = 0 + 0,963 081 990 963 2;
  • 18) 0,963 081 990 963 2 × 2 = 1 + 0,926 163 981 926 4;
  • 19) 0,926 163 981 926 4 × 2 = 1 + 0,852 327 963 852 8;
  • 20) 0,852 327 963 852 8 × 2 = 1 + 0,704 655 927 705 6;
  • 21) 0,704 655 927 705 6 × 2 = 1 + 0,409 311 855 411 2;
  • 22) 0,409 311 855 411 2 × 2 = 0 + 0,818 623 710 822 4;
  • 23) 0,818 623 710 822 4 × 2 = 1 + 0,637 247 421 644 8;
  • 24) 0,637 247 421 644 8 × 2 = 1 + 0,274 494 843 289 6;
  • 25) 0,274 494 843 289 6 × 2 = 0 + 0,548 989 686 579 2;
  • 26) 0,548 989 686 579 2 × 2 = 1 + 0,097 979 373 158 4;
  • 27) 0,097 979 373 158 4 × 2 = 0 + 0,195 958 746 316 8;
  • 28) 0,195 958 746 316 8 × 2 = 0 + 0,391 917 492 633 6;
  • 29) 0,391 917 492 633 6 × 2 = 0 + 0,783 834 985 267 2;
  • 30) 0,783 834 985 267 2 × 2 = 1 + 0,567 669 970 534 4;
  • 31) 0,567 669 970 534 4 × 2 = 1 + 0,135 339 941 068 8;
  • 32) 0,135 339 941 068 8 × 2 = 0 + 0,270 679 882 137 6;
  • 33) 0,270 679 882 137 6 × 2 = 0 + 0,541 359 764 275 2;
  • 34) 0,541 359 764 275 2 × 2 = 1 + 0,082 719 528 550 4;
  • 35) 0,082 719 528 550 4 × 2 = 0 + 0,165 439 057 100 8;
  • 36) 0,165 439 057 100 8 × 2 = 0 + 0,330 878 114 201 6;
  • 37) 0,330 878 114 201 6 × 2 = 0 + 0,661 756 228 403 2;
  • 38) 0,661 756 228 403 2 × 2 = 1 + 0,323 512 456 806 4;
  • 39) 0,323 512 456 806 4 × 2 = 0 + 0,647 024 913 612 8;
  • 40) 0,647 024 913 612 8 × 2 = 1 + 0,294 049 827 225 6;
  • 41) 0,294 049 827 225 6 × 2 = 0 + 0,588 099 654 451 2;
  • 42) 0,588 099 654 451 2 × 2 = 1 + 0,176 199 308 902 4;
  • 43) 0,176 199 308 902 4 × 2 = 0 + 0,352 398 617 804 8;
  • 44) 0,352 398 617 804 8 × 2 = 0 + 0,704 797 235 609 6;
  • 45) 0,704 797 235 609 6 × 2 = 1 + 0,409 594 471 219 2;
  • 46) 0,409 594 471 219 2 × 2 = 0 + 0,819 188 942 438 4;
  • 47) 0,819 188 942 438 4 × 2 = 1 + 0,638 377 884 876 8;
  • 48) 0,638 377 884 876 8 × 2 = 1 + 0,276 755 769 753 6;
  • 49) 0,276 755 769 753 6 × 2 = 0 + 0,553 511 539 507 2;
  • 50) 0,553 511 539 507 2 × 2 = 1 + 0,107 023 079 014 4;
  • 51) 0,107 023 079 014 4 × 2 = 0 + 0,214 046 158 028 8;
  • 52) 0,214 046 158 028 8 × 2 = 0 + 0,428 092 316 057 6;
  • 53) 0,428 092 316 057 6 × 2 = 0 + 0,856 184 632 115 2;
  • 54) 0,856 184 632 115 2 × 2 = 1 + 0,712 369 264 230 4;
  • 55) 0,712 369 264 230 4 × 2 = 1 + 0,424 738 528 460 8;
  • 56) 0,424 738 528 460 8 × 2 = 0 + 0,849 477 056 921 6;
  • 57) 0,849 477 056 921 6 × 2 = 1 + 0,698 954 113 843 2;
  • 58) 0,698 954 113 843 2 × 2 = 1 + 0,397 908 227 686 4;
  • 59) 0,397 908 227 686 4 × 2 = 0 + 0,795 816 455 372 8;
  • 60) 0,795 816 455 372 8 × 2 = 1 + 0,591 632 910 745 6;
  • 61) 0,591 632 910 745 6 × 2 = 1 + 0,183 265 821 491 2;
  • 62) 0,183 265 821 491 2 × 2 = 0 + 0,366 531 642 982 4;
  • 63) 0,366 531 642 982 4 × 2 = 0 + 0,733 063 285 964 8;
  • 64) 0,733 063 285 964 8 × 2 = 1 + 0,466 126 571 929 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 935 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 935 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 935 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 935 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0101 0100 1011 0100 0110 1101 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 937 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100