-0,000 282 005 937 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 937 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 937 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 937 2| = 0,000 282 005 937 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 937 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 937 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 874 4;
  • 2) 0,000 564 011 874 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 748 8;
  • 3) 0,001 128 023 748 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 497 6;
  • 4) 0,002 256 047 497 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 995 2;
  • 5) 0,004 512 094 995 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 990 4;
  • 6) 0,009 024 189 990 4 × 2 = 0 + 0,018 048 379 980 8;
  • 7) 0,018 048 379 980 8 × 2 = 0 + 0,036 096 759 961 6;
  • 8) 0,036 096 759 961 6 × 2 = 0 + 0,072 193 519 923 2;
  • 9) 0,072 193 519 923 2 × 2 = 0 + 0,144 387 039 846 4;
  • 10) 0,144 387 039 846 4 × 2 = 0 + 0,288 774 079 692 8;
  • 11) 0,288 774 079 692 8 × 2 = 0 + 0,577 548 159 385 6;
  • 12) 0,577 548 159 385 6 × 2 = 1 + 0,155 096 318 771 2;
  • 13) 0,155 096 318 771 2 × 2 = 0 + 0,310 192 637 542 4;
  • 14) 0,310 192 637 542 4 × 2 = 0 + 0,620 385 275 084 8;
  • 15) 0,620 385 275 084 8 × 2 = 1 + 0,240 770 550 169 6;
  • 16) 0,240 770 550 169 6 × 2 = 0 + 0,481 541 100 339 2;
  • 17) 0,481 541 100 339 2 × 2 = 0 + 0,963 082 200 678 4;
  • 18) 0,963 082 200 678 4 × 2 = 1 + 0,926 164 401 356 8;
  • 19) 0,926 164 401 356 8 × 2 = 1 + 0,852 328 802 713 6;
  • 20) 0,852 328 802 713 6 × 2 = 1 + 0,704 657 605 427 2;
  • 21) 0,704 657 605 427 2 × 2 = 1 + 0,409 315 210 854 4;
  • 22) 0,409 315 210 854 4 × 2 = 0 + 0,818 630 421 708 8;
  • 23) 0,818 630 421 708 8 × 2 = 1 + 0,637 260 843 417 6;
  • 24) 0,637 260 843 417 6 × 2 = 1 + 0,274 521 686 835 2;
  • 25) 0,274 521 686 835 2 × 2 = 0 + 0,549 043 373 670 4;
  • 26) 0,549 043 373 670 4 × 2 = 1 + 0,098 086 747 340 8;
  • 27) 0,098 086 747 340 8 × 2 = 0 + 0,196 173 494 681 6;
  • 28) 0,196 173 494 681 6 × 2 = 0 + 0,392 346 989 363 2;
  • 29) 0,392 346 989 363 2 × 2 = 0 + 0,784 693 978 726 4;
  • 30) 0,784 693 978 726 4 × 2 = 1 + 0,569 387 957 452 8;
  • 31) 0,569 387 957 452 8 × 2 = 1 + 0,138 775 914 905 6;
  • 32) 0,138 775 914 905 6 × 2 = 0 + 0,277 551 829 811 2;
  • 33) 0,277 551 829 811 2 × 2 = 0 + 0,555 103 659 622 4;
  • 34) 0,555 103 659 622 4 × 2 = 1 + 0,110 207 319 244 8;
  • 35) 0,110 207 319 244 8 × 2 = 0 + 0,220 414 638 489 6;
  • 36) 0,220 414 638 489 6 × 2 = 0 + 0,440 829 276 979 2;
  • 37) 0,440 829 276 979 2 × 2 = 0 + 0,881 658 553 958 4;
  • 38) 0,881 658 553 958 4 × 2 = 1 + 0,763 317 107 916 8;
  • 39) 0,763 317 107 916 8 × 2 = 1 + 0,526 634 215 833 6;
  • 40) 0,526 634 215 833 6 × 2 = 1 + 0,053 268 431 667 2;
  • 41) 0,053 268 431 667 2 × 2 = 0 + 0,106 536 863 334 4;
  • 42) 0,106 536 863 334 4 × 2 = 0 + 0,213 073 726 668 8;
  • 43) 0,213 073 726 668 8 × 2 = 0 + 0,426 147 453 337 6;
  • 44) 0,426 147 453 337 6 × 2 = 0 + 0,852 294 906 675 2;
  • 45) 0,852 294 906 675 2 × 2 = 1 + 0,704 589 813 350 4;
  • 46) 0,704 589 813 350 4 × 2 = 1 + 0,409 179 626 700 8;
  • 47) 0,409 179 626 700 8 × 2 = 0 + 0,818 359 253 401 6;
  • 48) 0,818 359 253 401 6 × 2 = 1 + 0,636 718 506 803 2;
  • 49) 0,636 718 506 803 2 × 2 = 1 + 0,273 437 013 606 4;
  • 50) 0,273 437 013 606 4 × 2 = 0 + 0,546 874 027 212 8;
  • 51) 0,546 874 027 212 8 × 2 = 1 + 0,093 748 054 425 6;
  • 52) 0,093 748 054 425 6 × 2 = 0 + 0,187 496 108 851 2;
  • 53) 0,187 496 108 851 2 × 2 = 0 + 0,374 992 217 702 4;
  • 54) 0,374 992 217 702 4 × 2 = 0 + 0,749 984 435 404 8;
  • 55) 0,749 984 435 404 8 × 2 = 1 + 0,499 968 870 809 6;
  • 56) 0,499 968 870 809 6 × 2 = 0 + 0,999 937 741 619 2;
  • 57) 0,999 937 741 619 2 × 2 = 1 + 0,999 875 483 238 4;
  • 58) 0,999 875 483 238 4 × 2 = 1 + 0,999 750 966 476 8;
  • 59) 0,999 750 966 476 8 × 2 = 1 + 0,999 501 932 953 6;
  • 60) 0,999 501 932 953 6 × 2 = 1 + 0,999 003 865 907 2;
  • 61) 0,999 003 865 907 2 × 2 = 1 + 0,998 007 731 814 4;
  • 62) 0,998 007 731 814 4 × 2 = 1 + 0,996 015 463 628 8;
  • 63) 0,996 015 463 628 8 × 2 = 1 + 0,992 030 927 257 6;
  • 64) 0,992 030 927 257 6 × 2 = 1 + 0,984 061 854 515 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 937 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 937 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 937 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 937 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 0000 1101 1010 0010 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 937 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100