-0,000 282 005 937 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 937 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 937 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 937 7| = 0,000 282 005 937 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 937 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 937 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 875 4;
  • 2) 0,000 564 011 875 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 750 8;
  • 3) 0,001 128 023 750 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 501 6;
  • 4) 0,002 256 047 501 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 003 2;
  • 5) 0,004 512 095 003 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 006 4;
  • 6) 0,009 024 190 006 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 012 8;
  • 7) 0,018 048 380 012 8 × 2 = 0 + 0,036 096 760 025 6;
  • 8) 0,036 096 760 025 6 × 2 = 0 + 0,072 193 520 051 2;
  • 9) 0,072 193 520 051 2 × 2 = 0 + 0,144 387 040 102 4;
  • 10) 0,144 387 040 102 4 × 2 = 0 + 0,288 774 080 204 8;
  • 11) 0,288 774 080 204 8 × 2 = 0 + 0,577 548 160 409 6;
  • 12) 0,577 548 160 409 6 × 2 = 1 + 0,155 096 320 819 2;
  • 13) 0,155 096 320 819 2 × 2 = 0 + 0,310 192 641 638 4;
  • 14) 0,310 192 641 638 4 × 2 = 0 + 0,620 385 283 276 8;
  • 15) 0,620 385 283 276 8 × 2 = 1 + 0,240 770 566 553 6;
  • 16) 0,240 770 566 553 6 × 2 = 0 + 0,481 541 133 107 2;
  • 17) 0,481 541 133 107 2 × 2 = 0 + 0,963 082 266 214 4;
  • 18) 0,963 082 266 214 4 × 2 = 1 + 0,926 164 532 428 8;
  • 19) 0,926 164 532 428 8 × 2 = 1 + 0,852 329 064 857 6;
  • 20) 0,852 329 064 857 6 × 2 = 1 + 0,704 658 129 715 2;
  • 21) 0,704 658 129 715 2 × 2 = 1 + 0,409 316 259 430 4;
  • 22) 0,409 316 259 430 4 × 2 = 0 + 0,818 632 518 860 8;
  • 23) 0,818 632 518 860 8 × 2 = 1 + 0,637 265 037 721 6;
  • 24) 0,637 265 037 721 6 × 2 = 1 + 0,274 530 075 443 2;
  • 25) 0,274 530 075 443 2 × 2 = 0 + 0,549 060 150 886 4;
  • 26) 0,549 060 150 886 4 × 2 = 1 + 0,098 120 301 772 8;
  • 27) 0,098 120 301 772 8 × 2 = 0 + 0,196 240 603 545 6;
  • 28) 0,196 240 603 545 6 × 2 = 0 + 0,392 481 207 091 2;
  • 29) 0,392 481 207 091 2 × 2 = 0 + 0,784 962 414 182 4;
  • 30) 0,784 962 414 182 4 × 2 = 1 + 0,569 924 828 364 8;
  • 31) 0,569 924 828 364 8 × 2 = 1 + 0,139 849 656 729 6;
  • 32) 0,139 849 656 729 6 × 2 = 0 + 0,279 699 313 459 2;
  • 33) 0,279 699 313 459 2 × 2 = 0 + 0,559 398 626 918 4;
  • 34) 0,559 398 626 918 4 × 2 = 1 + 0,118 797 253 836 8;
  • 35) 0,118 797 253 836 8 × 2 = 0 + 0,237 594 507 673 6;
  • 36) 0,237 594 507 673 6 × 2 = 0 + 0,475 189 015 347 2;
  • 37) 0,475 189 015 347 2 × 2 = 0 + 0,950 378 030 694 4;
  • 38) 0,950 378 030 694 4 × 2 = 1 + 0,900 756 061 388 8;
  • 39) 0,900 756 061 388 8 × 2 = 1 + 0,801 512 122 777 6;
  • 40) 0,801 512 122 777 6 × 2 = 1 + 0,603 024 245 555 2;
  • 41) 0,603 024 245 555 2 × 2 = 1 + 0,206 048 491 110 4;
  • 42) 0,206 048 491 110 4 × 2 = 0 + 0,412 096 982 220 8;
  • 43) 0,412 096 982 220 8 × 2 = 0 + 0,824 193 964 441 6;
  • 44) 0,824 193 964 441 6 × 2 = 1 + 0,648 387 928 883 2;
  • 45) 0,648 387 928 883 2 × 2 = 1 + 0,296 775 857 766 4;
  • 46) 0,296 775 857 766 4 × 2 = 0 + 0,593 551 715 532 8;
  • 47) 0,593 551 715 532 8 × 2 = 1 + 0,187 103 431 065 6;
  • 48) 0,187 103 431 065 6 × 2 = 0 + 0,374 206 862 131 2;
  • 49) 0,374 206 862 131 2 × 2 = 0 + 0,748 413 724 262 4;
  • 50) 0,748 413 724 262 4 × 2 = 1 + 0,496 827 448 524 8;
  • 51) 0,496 827 448 524 8 × 2 = 0 + 0,993 654 897 049 6;
  • 52) 0,993 654 897 049 6 × 2 = 1 + 0,987 309 794 099 2;
  • 53) 0,987 309 794 099 2 × 2 = 1 + 0,974 619 588 198 4;
  • 54) 0,974 619 588 198 4 × 2 = 1 + 0,949 239 176 396 8;
  • 55) 0,949 239 176 396 8 × 2 = 1 + 0,898 478 352 793 6;
  • 56) 0,898 478 352 793 6 × 2 = 1 + 0,796 956 705 587 2;
  • 57) 0,796 956 705 587 2 × 2 = 1 + 0,593 913 411 174 4;
  • 58) 0,593 913 411 174 4 × 2 = 1 + 0,187 826 822 348 8;
  • 59) 0,187 826 822 348 8 × 2 = 0 + 0,375 653 644 697 6;
  • 60) 0,375 653 644 697 6 × 2 = 0 + 0,751 307 289 395 2;
  • 61) 0,751 307 289 395 2 × 2 = 1 + 0,502 614 578 790 4;
  • 62) 0,502 614 578 790 4 × 2 = 1 + 0,005 229 157 580 8;
  • 63) 0,005 229 157 580 8 × 2 = 0 + 0,010 458 315 161 6;
  • 64) 0,010 458 315 161 6 × 2 = 0 + 0,020 916 630 323 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 937 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 937 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 937 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 937 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 0111 1001 1010 0101 1111 1100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 930 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100