-0,000 282 005 940 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 940 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 940 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 940 9| = 0,000 282 005 940 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 940 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 940 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 881 8;
  • 2) 0,000 564 011 881 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 763 6;
  • 3) 0,001 128 023 763 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 527 2;
  • 4) 0,002 256 047 527 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 054 4;
  • 5) 0,004 512 095 054 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 108 8;
  • 6) 0,009 024 190 108 8 × 2 = 0 + 0,018 048 380 217 6;
  • 7) 0,018 048 380 217 6 × 2 = 0 + 0,036 096 760 435 2;
  • 8) 0,036 096 760 435 2 × 2 = 0 + 0,072 193 520 870 4;
  • 9) 0,072 193 520 870 4 × 2 = 0 + 0,144 387 041 740 8;
  • 10) 0,144 387 041 740 8 × 2 = 0 + 0,288 774 083 481 6;
  • 11) 0,288 774 083 481 6 × 2 = 0 + 0,577 548 166 963 2;
  • 12) 0,577 548 166 963 2 × 2 = 1 + 0,155 096 333 926 4;
  • 13) 0,155 096 333 926 4 × 2 = 0 + 0,310 192 667 852 8;
  • 14) 0,310 192 667 852 8 × 2 = 0 + 0,620 385 335 705 6;
  • 15) 0,620 385 335 705 6 × 2 = 1 + 0,240 770 671 411 2;
  • 16) 0,240 770 671 411 2 × 2 = 0 + 0,481 541 342 822 4;
  • 17) 0,481 541 342 822 4 × 2 = 0 + 0,963 082 685 644 8;
  • 18) 0,963 082 685 644 8 × 2 = 1 + 0,926 165 371 289 6;
  • 19) 0,926 165 371 289 6 × 2 = 1 + 0,852 330 742 579 2;
  • 20) 0,852 330 742 579 2 × 2 = 1 + 0,704 661 485 158 4;
  • 21) 0,704 661 485 158 4 × 2 = 1 + 0,409 322 970 316 8;
  • 22) 0,409 322 970 316 8 × 2 = 0 + 0,818 645 940 633 6;
  • 23) 0,818 645 940 633 6 × 2 = 1 + 0,637 291 881 267 2;
  • 24) 0,637 291 881 267 2 × 2 = 1 + 0,274 583 762 534 4;
  • 25) 0,274 583 762 534 4 × 2 = 0 + 0,549 167 525 068 8;
  • 26) 0,549 167 525 068 8 × 2 = 1 + 0,098 335 050 137 6;
  • 27) 0,098 335 050 137 6 × 2 = 0 + 0,196 670 100 275 2;
  • 28) 0,196 670 100 275 2 × 2 = 0 + 0,393 340 200 550 4;
  • 29) 0,393 340 200 550 4 × 2 = 0 + 0,786 680 401 100 8;
  • 30) 0,786 680 401 100 8 × 2 = 1 + 0,573 360 802 201 6;
  • 31) 0,573 360 802 201 6 × 2 = 1 + 0,146 721 604 403 2;
  • 32) 0,146 721 604 403 2 × 2 = 0 + 0,293 443 208 806 4;
  • 33) 0,293 443 208 806 4 × 2 = 0 + 0,586 886 417 612 8;
  • 34) 0,586 886 417 612 8 × 2 = 1 + 0,173 772 835 225 6;
  • 35) 0,173 772 835 225 6 × 2 = 0 + 0,347 545 670 451 2;
  • 36) 0,347 545 670 451 2 × 2 = 0 + 0,695 091 340 902 4;
  • 37) 0,695 091 340 902 4 × 2 = 1 + 0,390 182 681 804 8;
  • 38) 0,390 182 681 804 8 × 2 = 0 + 0,780 365 363 609 6;
  • 39) 0,780 365 363 609 6 × 2 = 1 + 0,560 730 727 219 2;
  • 40) 0,560 730 727 219 2 × 2 = 1 + 0,121 461 454 438 4;
  • 41) 0,121 461 454 438 4 × 2 = 0 + 0,242 922 908 876 8;
  • 42) 0,242 922 908 876 8 × 2 = 0 + 0,485 845 817 753 6;
  • 43) 0,485 845 817 753 6 × 2 = 0 + 0,971 691 635 507 2;
  • 44) 0,971 691 635 507 2 × 2 = 1 + 0,943 383 271 014 4;
  • 45) 0,943 383 271 014 4 × 2 = 1 + 0,886 766 542 028 8;
  • 46) 0,886 766 542 028 8 × 2 = 1 + 0,773 533 084 057 6;
  • 47) 0,773 533 084 057 6 × 2 = 1 + 0,547 066 168 115 2;
  • 48) 0,547 066 168 115 2 × 2 = 1 + 0,094 132 336 230 4;
  • 49) 0,094 132 336 230 4 × 2 = 0 + 0,188 264 672 460 8;
  • 50) 0,188 264 672 460 8 × 2 = 0 + 0,376 529 344 921 6;
  • 51) 0,376 529 344 921 6 × 2 = 0 + 0,753 058 689 843 2;
  • 52) 0,753 058 689 843 2 × 2 = 1 + 0,506 117 379 686 4;
  • 53) 0,506 117 379 686 4 × 2 = 1 + 0,012 234 759 372 8;
  • 54) 0,012 234 759 372 8 × 2 = 0 + 0,024 469 518 745 6;
  • 55) 0,024 469 518 745 6 × 2 = 0 + 0,048 939 037 491 2;
  • 56) 0,048 939 037 491 2 × 2 = 0 + 0,097 878 074 982 4;
  • 57) 0,097 878 074 982 4 × 2 = 0 + 0,195 756 149 964 8;
  • 58) 0,195 756 149 964 8 × 2 = 0 + 0,391 512 299 929 6;
  • 59) 0,391 512 299 929 6 × 2 = 0 + 0,783 024 599 859 2;
  • 60) 0,783 024 599 859 2 × 2 = 1 + 0,566 049 199 718 4;
  • 61) 0,566 049 199 718 4 × 2 = 1 + 0,132 098 399 436 8;
  • 62) 0,132 098 399 436 8 × 2 = 0 + 0,264 196 798 873 6;
  • 63) 0,264 196 798 873 6 × 2 = 0 + 0,528 393 597 747 2;
  • 64) 0,528 393 597 747 2 × 2 = 1 + 0,056 787 195 494 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 940 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 940 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 940 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 940 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1011 0001 1111 0001 1000 0001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 946 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100