-0,000 282 005 941 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 941 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 941 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 941 9| = 0,000 282 005 941 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 941 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 941 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 883 8;
  • 2) 0,000 564 011 883 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 767 6;
  • 3) 0,001 128 023 767 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 535 2;
  • 4) 0,002 256 047 535 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 070 4;
  • 5) 0,004 512 095 070 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 140 8;
  • 6) 0,009 024 190 140 8 × 2 = 0 + 0,018 048 380 281 6;
  • 7) 0,018 048 380 281 6 × 2 = 0 + 0,036 096 760 563 2;
  • 8) 0,036 096 760 563 2 × 2 = 0 + 0,072 193 521 126 4;
  • 9) 0,072 193 521 126 4 × 2 = 0 + 0,144 387 042 252 8;
  • 10) 0,144 387 042 252 8 × 2 = 0 + 0,288 774 084 505 6;
  • 11) 0,288 774 084 505 6 × 2 = 0 + 0,577 548 169 011 2;
  • 12) 0,577 548 169 011 2 × 2 = 1 + 0,155 096 338 022 4;
  • 13) 0,155 096 338 022 4 × 2 = 0 + 0,310 192 676 044 8;
  • 14) 0,310 192 676 044 8 × 2 = 0 + 0,620 385 352 089 6;
  • 15) 0,620 385 352 089 6 × 2 = 1 + 0,240 770 704 179 2;
  • 16) 0,240 770 704 179 2 × 2 = 0 + 0,481 541 408 358 4;
  • 17) 0,481 541 408 358 4 × 2 = 0 + 0,963 082 816 716 8;
  • 18) 0,963 082 816 716 8 × 2 = 1 + 0,926 165 633 433 6;
  • 19) 0,926 165 633 433 6 × 2 = 1 + 0,852 331 266 867 2;
  • 20) 0,852 331 266 867 2 × 2 = 1 + 0,704 662 533 734 4;
  • 21) 0,704 662 533 734 4 × 2 = 1 + 0,409 325 067 468 8;
  • 22) 0,409 325 067 468 8 × 2 = 0 + 0,818 650 134 937 6;
  • 23) 0,818 650 134 937 6 × 2 = 1 + 0,637 300 269 875 2;
  • 24) 0,637 300 269 875 2 × 2 = 1 + 0,274 600 539 750 4;
  • 25) 0,274 600 539 750 4 × 2 = 0 + 0,549 201 079 500 8;
  • 26) 0,549 201 079 500 8 × 2 = 1 + 0,098 402 159 001 6;
  • 27) 0,098 402 159 001 6 × 2 = 0 + 0,196 804 318 003 2;
  • 28) 0,196 804 318 003 2 × 2 = 0 + 0,393 608 636 006 4;
  • 29) 0,393 608 636 006 4 × 2 = 0 + 0,787 217 272 012 8;
  • 30) 0,787 217 272 012 8 × 2 = 1 + 0,574 434 544 025 6;
  • 31) 0,574 434 544 025 6 × 2 = 1 + 0,148 869 088 051 2;
  • 32) 0,148 869 088 051 2 × 2 = 0 + 0,297 738 176 102 4;
  • 33) 0,297 738 176 102 4 × 2 = 0 + 0,595 476 352 204 8;
  • 34) 0,595 476 352 204 8 × 2 = 1 + 0,190 952 704 409 6;
  • 35) 0,190 952 704 409 6 × 2 = 0 + 0,381 905 408 819 2;
  • 36) 0,381 905 408 819 2 × 2 = 0 + 0,763 810 817 638 4;
  • 37) 0,763 810 817 638 4 × 2 = 1 + 0,527 621 635 276 8;
  • 38) 0,527 621 635 276 8 × 2 = 1 + 0,055 243 270 553 6;
  • 39) 0,055 243 270 553 6 × 2 = 0 + 0,110 486 541 107 2;
  • 40) 0,110 486 541 107 2 × 2 = 0 + 0,220 973 082 214 4;
  • 41) 0,220 973 082 214 4 × 2 = 0 + 0,441 946 164 428 8;
  • 42) 0,441 946 164 428 8 × 2 = 0 + 0,883 892 328 857 6;
  • 43) 0,883 892 328 857 6 × 2 = 1 + 0,767 784 657 715 2;
  • 44) 0,767 784 657 715 2 × 2 = 1 + 0,535 569 315 430 4;
  • 45) 0,535 569 315 430 4 × 2 = 1 + 0,071 138 630 860 8;
  • 46) 0,071 138 630 860 8 × 2 = 0 + 0,142 277 261 721 6;
  • 47) 0,142 277 261 721 6 × 2 = 0 + 0,284 554 523 443 2;
  • 48) 0,284 554 523 443 2 × 2 = 0 + 0,569 109 046 886 4;
  • 49) 0,569 109 046 886 4 × 2 = 1 + 0,138 218 093 772 8;
  • 50) 0,138 218 093 772 8 × 2 = 0 + 0,276 436 187 545 6;
  • 51) 0,276 436 187 545 6 × 2 = 0 + 0,552 872 375 091 2;
  • 52) 0,552 872 375 091 2 × 2 = 1 + 0,105 744 750 182 4;
  • 53) 0,105 744 750 182 4 × 2 = 0 + 0,211 489 500 364 8;
  • 54) 0,211 489 500 364 8 × 2 = 0 + 0,422 979 000 729 6;
  • 55) 0,422 979 000 729 6 × 2 = 0 + 0,845 958 001 459 2;
  • 56) 0,845 958 001 459 2 × 2 = 1 + 0,691 916 002 918 4;
  • 57) 0,691 916 002 918 4 × 2 = 1 + 0,383 832 005 836 8;
  • 58) 0,383 832 005 836 8 × 2 = 0 + 0,767 664 011 673 6;
  • 59) 0,767 664 011 673 6 × 2 = 1 + 0,535 328 023 347 2;
  • 60) 0,535 328 023 347 2 × 2 = 1 + 0,070 656 046 694 4;
  • 61) 0,070 656 046 694 4 × 2 = 0 + 0,141 312 093 388 8;
  • 62) 0,141 312 093 388 8 × 2 = 0 + 0,282 624 186 777 6;
  • 63) 0,282 624 186 777 6 × 2 = 0 + 0,565 248 373 555 2;
  • 64) 0,565 248 373 555 2 × 2 = 1 + 0,130 496 747 110 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 941 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 941 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 941 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 941 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1100 0011 1000 1001 0001 1011 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 938 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100