-0,000 282 005 943 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 943 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 943 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 943 4| = 0,000 282 005 943 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 943 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 943 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 886 8;
  • 2) 0,000 564 011 886 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 773 6;
  • 3) 0,001 128 023 773 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 547 2;
  • 4) 0,002 256 047 547 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 094 4;
  • 5) 0,004 512 095 094 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 188 8;
  • 6) 0,009 024 190 188 8 × 2 = 0 + 0,018 048 380 377 6;
  • 7) 0,018 048 380 377 6 × 2 = 0 + 0,036 096 760 755 2;
  • 8) 0,036 096 760 755 2 × 2 = 0 + 0,072 193 521 510 4;
  • 9) 0,072 193 521 510 4 × 2 = 0 + 0,144 387 043 020 8;
  • 10) 0,144 387 043 020 8 × 2 = 0 + 0,288 774 086 041 6;
  • 11) 0,288 774 086 041 6 × 2 = 0 + 0,577 548 172 083 2;
  • 12) 0,577 548 172 083 2 × 2 = 1 + 0,155 096 344 166 4;
  • 13) 0,155 096 344 166 4 × 2 = 0 + 0,310 192 688 332 8;
  • 14) 0,310 192 688 332 8 × 2 = 0 + 0,620 385 376 665 6;
  • 15) 0,620 385 376 665 6 × 2 = 1 + 0,240 770 753 331 2;
  • 16) 0,240 770 753 331 2 × 2 = 0 + 0,481 541 506 662 4;
  • 17) 0,481 541 506 662 4 × 2 = 0 + 0,963 083 013 324 8;
  • 18) 0,963 083 013 324 8 × 2 = 1 + 0,926 166 026 649 6;
  • 19) 0,926 166 026 649 6 × 2 = 1 + 0,852 332 053 299 2;
  • 20) 0,852 332 053 299 2 × 2 = 1 + 0,704 664 106 598 4;
  • 21) 0,704 664 106 598 4 × 2 = 1 + 0,409 328 213 196 8;
  • 22) 0,409 328 213 196 8 × 2 = 0 + 0,818 656 426 393 6;
  • 23) 0,818 656 426 393 6 × 2 = 1 + 0,637 312 852 787 2;
  • 24) 0,637 312 852 787 2 × 2 = 1 + 0,274 625 705 574 4;
  • 25) 0,274 625 705 574 4 × 2 = 0 + 0,549 251 411 148 8;
  • 26) 0,549 251 411 148 8 × 2 = 1 + 0,098 502 822 297 6;
  • 27) 0,098 502 822 297 6 × 2 = 0 + 0,197 005 644 595 2;
  • 28) 0,197 005 644 595 2 × 2 = 0 + 0,394 011 289 190 4;
  • 29) 0,394 011 289 190 4 × 2 = 0 + 0,788 022 578 380 8;
  • 30) 0,788 022 578 380 8 × 2 = 1 + 0,576 045 156 761 6;
  • 31) 0,576 045 156 761 6 × 2 = 1 + 0,152 090 313 523 2;
  • 32) 0,152 090 313 523 2 × 2 = 0 + 0,304 180 627 046 4;
  • 33) 0,304 180 627 046 4 × 2 = 0 + 0,608 361 254 092 8;
  • 34) 0,608 361 254 092 8 × 2 = 1 + 0,216 722 508 185 6;
  • 35) 0,216 722 508 185 6 × 2 = 0 + 0,433 445 016 371 2;
  • 36) 0,433 445 016 371 2 × 2 = 0 + 0,866 890 032 742 4;
  • 37) 0,866 890 032 742 4 × 2 = 1 + 0,733 780 065 484 8;
  • 38) 0,733 780 065 484 8 × 2 = 1 + 0,467 560 130 969 6;
  • 39) 0,467 560 130 969 6 × 2 = 0 + 0,935 120 261 939 2;
  • 40) 0,935 120 261 939 2 × 2 = 1 + 0,870 240 523 878 4;
  • 41) 0,870 240 523 878 4 × 2 = 1 + 0,740 481 047 756 8;
  • 42) 0,740 481 047 756 8 × 2 = 1 + 0,480 962 095 513 6;
  • 43) 0,480 962 095 513 6 × 2 = 0 + 0,961 924 191 027 2;
  • 44) 0,961 924 191 027 2 × 2 = 1 + 0,923 848 382 054 4;
  • 45) 0,923 848 382 054 4 × 2 = 1 + 0,847 696 764 108 8;
  • 46) 0,847 696 764 108 8 × 2 = 1 + 0,695 393 528 217 6;
  • 47) 0,695 393 528 217 6 × 2 = 1 + 0,390 787 056 435 2;
  • 48) 0,390 787 056 435 2 × 2 = 0 + 0,781 574 112 870 4;
  • 49) 0,781 574 112 870 4 × 2 = 1 + 0,563 148 225 740 8;
  • 50) 0,563 148 225 740 8 × 2 = 1 + 0,126 296 451 481 6;
  • 51) 0,126 296 451 481 6 × 2 = 0 + 0,252 592 902 963 2;
  • 52) 0,252 592 902 963 2 × 2 = 0 + 0,505 185 805 926 4;
  • 53) 0,505 185 805 926 4 × 2 = 1 + 0,010 371 611 852 8;
  • 54) 0,010 371 611 852 8 × 2 = 0 + 0,020 743 223 705 6;
  • 55) 0,020 743 223 705 6 × 2 = 0 + 0,041 486 447 411 2;
  • 56) 0,041 486 447 411 2 × 2 = 0 + 0,082 972 894 822 4;
  • 57) 0,082 972 894 822 4 × 2 = 0 + 0,165 945 789 644 8;
  • 58) 0,165 945 789 644 8 × 2 = 0 + 0,331 891 579 289 6;
  • 59) 0,331 891 579 289 6 × 2 = 0 + 0,663 783 158 579 2;
  • 60) 0,663 783 158 579 2 × 2 = 1 + 0,327 566 317 158 4;
  • 61) 0,327 566 317 158 4 × 2 = 0 + 0,655 132 634 316 8;
  • 62) 0,655 132 634 316 8 × 2 = 1 + 0,310 265 268 633 6;
  • 63) 0,310 265 268 633 6 × 2 = 0 + 0,620 530 537 267 2;
  • 64) 0,620 530 537 267 2 × 2 = 1 + 0,241 061 074 534 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 943 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 943 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 943 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 943 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 1101 1110 1100 1000 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 951 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100