-0,000 282 005 945 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 945 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 945 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 945 7| = 0,000 282 005 945 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 945 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 945 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 891 4;
  • 2) 0,000 564 011 891 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 782 8;
  • 3) 0,001 128 023 782 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 565 6;
  • 4) 0,002 256 047 565 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 131 2;
  • 5) 0,004 512 095 131 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 262 4;
  • 6) 0,009 024 190 262 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 524 8;
  • 7) 0,018 048 380 524 8 × 2 = 0 + 0,036 096 761 049 6;
  • 8) 0,036 096 761 049 6 × 2 = 0 + 0,072 193 522 099 2;
  • 9) 0,072 193 522 099 2 × 2 = 0 + 0,144 387 044 198 4;
  • 10) 0,144 387 044 198 4 × 2 = 0 + 0,288 774 088 396 8;
  • 11) 0,288 774 088 396 8 × 2 = 0 + 0,577 548 176 793 6;
  • 12) 0,577 548 176 793 6 × 2 = 1 + 0,155 096 353 587 2;
  • 13) 0,155 096 353 587 2 × 2 = 0 + 0,310 192 707 174 4;
  • 14) 0,310 192 707 174 4 × 2 = 0 + 0,620 385 414 348 8;
  • 15) 0,620 385 414 348 8 × 2 = 1 + 0,240 770 828 697 6;
  • 16) 0,240 770 828 697 6 × 2 = 0 + 0,481 541 657 395 2;
  • 17) 0,481 541 657 395 2 × 2 = 0 + 0,963 083 314 790 4;
  • 18) 0,963 083 314 790 4 × 2 = 1 + 0,926 166 629 580 8;
  • 19) 0,926 166 629 580 8 × 2 = 1 + 0,852 333 259 161 6;
  • 20) 0,852 333 259 161 6 × 2 = 1 + 0,704 666 518 323 2;
  • 21) 0,704 666 518 323 2 × 2 = 1 + 0,409 333 036 646 4;
  • 22) 0,409 333 036 646 4 × 2 = 0 + 0,818 666 073 292 8;
  • 23) 0,818 666 073 292 8 × 2 = 1 + 0,637 332 146 585 6;
  • 24) 0,637 332 146 585 6 × 2 = 1 + 0,274 664 293 171 2;
  • 25) 0,274 664 293 171 2 × 2 = 0 + 0,549 328 586 342 4;
  • 26) 0,549 328 586 342 4 × 2 = 1 + 0,098 657 172 684 8;
  • 27) 0,098 657 172 684 8 × 2 = 0 + 0,197 314 345 369 6;
  • 28) 0,197 314 345 369 6 × 2 = 0 + 0,394 628 690 739 2;
  • 29) 0,394 628 690 739 2 × 2 = 0 + 0,789 257 381 478 4;
  • 30) 0,789 257 381 478 4 × 2 = 1 + 0,578 514 762 956 8;
  • 31) 0,578 514 762 956 8 × 2 = 1 + 0,157 029 525 913 6;
  • 32) 0,157 029 525 913 6 × 2 = 0 + 0,314 059 051 827 2;
  • 33) 0,314 059 051 827 2 × 2 = 0 + 0,628 118 103 654 4;
  • 34) 0,628 118 103 654 4 × 2 = 1 + 0,256 236 207 308 8;
  • 35) 0,256 236 207 308 8 × 2 = 0 + 0,512 472 414 617 6;
  • 36) 0,512 472 414 617 6 × 2 = 1 + 0,024 944 829 235 2;
  • 37) 0,024 944 829 235 2 × 2 = 0 + 0,049 889 658 470 4;
  • 38) 0,049 889 658 470 4 × 2 = 0 + 0,099 779 316 940 8;
  • 39) 0,099 779 316 940 8 × 2 = 0 + 0,199 558 633 881 6;
  • 40) 0,199 558 633 881 6 × 2 = 0 + 0,399 117 267 763 2;
  • 41) 0,399 117 267 763 2 × 2 = 0 + 0,798 234 535 526 4;
  • 42) 0,798 234 535 526 4 × 2 = 1 + 0,596 469 071 052 8;
  • 43) 0,596 469 071 052 8 × 2 = 1 + 0,192 938 142 105 6;
  • 44) 0,192 938 142 105 6 × 2 = 0 + 0,385 876 284 211 2;
  • 45) 0,385 876 284 211 2 × 2 = 0 + 0,771 752 568 422 4;
  • 46) 0,771 752 568 422 4 × 2 = 1 + 0,543 505 136 844 8;
  • 47) 0,543 505 136 844 8 × 2 = 1 + 0,087 010 273 689 6;
  • 48) 0,087 010 273 689 6 × 2 = 0 + 0,174 020 547 379 2;
  • 49) 0,174 020 547 379 2 × 2 = 0 + 0,348 041 094 758 4;
  • 50) 0,348 041 094 758 4 × 2 = 0 + 0,696 082 189 516 8;
  • 51) 0,696 082 189 516 8 × 2 = 1 + 0,392 164 379 033 6;
  • 52) 0,392 164 379 033 6 × 2 = 0 + 0,784 328 758 067 2;
  • 53) 0,784 328 758 067 2 × 2 = 1 + 0,568 657 516 134 4;
  • 54) 0,568 657 516 134 4 × 2 = 1 + 0,137 315 032 268 8;
  • 55) 0,137 315 032 268 8 × 2 = 0 + 0,274 630 064 537 6;
  • 56) 0,274 630 064 537 6 × 2 = 0 + 0,549 260 129 075 2;
  • 57) 0,549 260 129 075 2 × 2 = 1 + 0,098 520 258 150 4;
  • 58) 0,098 520 258 150 4 × 2 = 0 + 0,197 040 516 300 8;
  • 59) 0,197 040 516 300 8 × 2 = 0 + 0,394 081 032 601 6;
  • 60) 0,394 081 032 601 6 × 2 = 0 + 0,788 162 065 203 2;
  • 61) 0,788 162 065 203 2 × 2 = 1 + 0,576 324 130 406 4;
  • 62) 0,576 324 130 406 4 × 2 = 1 + 0,152 648 260 812 8;
  • 63) 0,152 648 260 812 8 × 2 = 0 + 0,305 296 521 625 6;
  • 64) 0,305 296 521 625 6 × 2 = 0 + 0,610 593 043 251 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 945 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 945 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 945 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 945 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 0110 0110 0010 1100 1000 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 947 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100