-0,000 282 005 946 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 946 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 946 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 946 1| = 0,000 282 005 946 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 946 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 946 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 892 2;
  • 2) 0,000 564 011 892 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 784 4;
  • 3) 0,001 128 023 784 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 568 8;
  • 4) 0,002 256 047 568 8 × 2 = 0 + 0,004 512 095 137 6;
  • 5) 0,004 512 095 137 6 × 2 = 0 + 0,009 024 190 275 2;
  • 6) 0,009 024 190 275 2 × 2 = 0 + 0,018 048 380 550 4;
  • 7) 0,018 048 380 550 4 × 2 = 0 + 0,036 096 761 100 8;
  • 8) 0,036 096 761 100 8 × 2 = 0 + 0,072 193 522 201 6;
  • 9) 0,072 193 522 201 6 × 2 = 0 + 0,144 387 044 403 2;
  • 10) 0,144 387 044 403 2 × 2 = 0 + 0,288 774 088 806 4;
  • 11) 0,288 774 088 806 4 × 2 = 0 + 0,577 548 177 612 8;
  • 12) 0,577 548 177 612 8 × 2 = 1 + 0,155 096 355 225 6;
  • 13) 0,155 096 355 225 6 × 2 = 0 + 0,310 192 710 451 2;
  • 14) 0,310 192 710 451 2 × 2 = 0 + 0,620 385 420 902 4;
  • 15) 0,620 385 420 902 4 × 2 = 1 + 0,240 770 841 804 8;
  • 16) 0,240 770 841 804 8 × 2 = 0 + 0,481 541 683 609 6;
  • 17) 0,481 541 683 609 6 × 2 = 0 + 0,963 083 367 219 2;
  • 18) 0,963 083 367 219 2 × 2 = 1 + 0,926 166 734 438 4;
  • 19) 0,926 166 734 438 4 × 2 = 1 + 0,852 333 468 876 8;
  • 20) 0,852 333 468 876 8 × 2 = 1 + 0,704 666 937 753 6;
  • 21) 0,704 666 937 753 6 × 2 = 1 + 0,409 333 875 507 2;
  • 22) 0,409 333 875 507 2 × 2 = 0 + 0,818 667 751 014 4;
  • 23) 0,818 667 751 014 4 × 2 = 1 + 0,637 335 502 028 8;
  • 24) 0,637 335 502 028 8 × 2 = 1 + 0,274 671 004 057 6;
  • 25) 0,274 671 004 057 6 × 2 = 0 + 0,549 342 008 115 2;
  • 26) 0,549 342 008 115 2 × 2 = 1 + 0,098 684 016 230 4;
  • 27) 0,098 684 016 230 4 × 2 = 0 + 0,197 368 032 460 8;
  • 28) 0,197 368 032 460 8 × 2 = 0 + 0,394 736 064 921 6;
  • 29) 0,394 736 064 921 6 × 2 = 0 + 0,789 472 129 843 2;
  • 30) 0,789 472 129 843 2 × 2 = 1 + 0,578 944 259 686 4;
  • 31) 0,578 944 259 686 4 × 2 = 1 + 0,157 888 519 372 8;
  • 32) 0,157 888 519 372 8 × 2 = 0 + 0,315 777 038 745 6;
  • 33) 0,315 777 038 745 6 × 2 = 0 + 0,631 554 077 491 2;
  • 34) 0,631 554 077 491 2 × 2 = 1 + 0,263 108 154 982 4;
  • 35) 0,263 108 154 982 4 × 2 = 0 + 0,526 216 309 964 8;
  • 36) 0,526 216 309 964 8 × 2 = 1 + 0,052 432 619 929 6;
  • 37) 0,052 432 619 929 6 × 2 = 0 + 0,104 865 239 859 2;
  • 38) 0,104 865 239 859 2 × 2 = 0 + 0,209 730 479 718 4;
  • 39) 0,209 730 479 718 4 × 2 = 0 + 0,419 460 959 436 8;
  • 40) 0,419 460 959 436 8 × 2 = 0 + 0,838 921 918 873 6;
  • 41) 0,838 921 918 873 6 × 2 = 1 + 0,677 843 837 747 2;
  • 42) 0,677 843 837 747 2 × 2 = 1 + 0,355 687 675 494 4;
  • 43) 0,355 687 675 494 4 × 2 = 0 + 0,711 375 350 988 8;
  • 44) 0,711 375 350 988 8 × 2 = 1 + 0,422 750 701 977 6;
  • 45) 0,422 750 701 977 6 × 2 = 0 + 0,845 501 403 955 2;
  • 46) 0,845 501 403 955 2 × 2 = 1 + 0,691 002 807 910 4;
  • 47) 0,691 002 807 910 4 × 2 = 1 + 0,382 005 615 820 8;
  • 48) 0,382 005 615 820 8 × 2 = 0 + 0,764 011 231 641 6;
  • 49) 0,764 011 231 641 6 × 2 = 1 + 0,528 022 463 283 2;
  • 50) 0,528 022 463 283 2 × 2 = 1 + 0,056 044 926 566 4;
  • 51) 0,056 044 926 566 4 × 2 = 0 + 0,112 089 853 132 8;
  • 52) 0,112 089 853 132 8 × 2 = 0 + 0,224 179 706 265 6;
  • 53) 0,224 179 706 265 6 × 2 = 0 + 0,448 359 412 531 2;
  • 54) 0,448 359 412 531 2 × 2 = 0 + 0,896 718 825 062 4;
  • 55) 0,896 718 825 062 4 × 2 = 1 + 0,793 437 650 124 8;
  • 56) 0,793 437 650 124 8 × 2 = 1 + 0,586 875 300 249 6;
  • 57) 0,586 875 300 249 6 × 2 = 1 + 0,173 750 600 499 2;
  • 58) 0,173 750 600 499 2 × 2 = 0 + 0,347 501 200 998 4;
  • 59) 0,347 501 200 998 4 × 2 = 0 + 0,695 002 401 996 8;
  • 60) 0,695 002 401 996 8 × 2 = 1 + 0,390 004 803 993 6;
  • 61) 0,390 004 803 993 6 × 2 = 0 + 0,780 009 607 987 2;
  • 62) 0,780 009 607 987 2 × 2 = 1 + 0,560 019 215 974 4;
  • 63) 0,560 019 215 974 4 × 2 = 1 + 0,120 038 431 948 8;
  • 64) 0,120 038 431 948 8 × 2 = 0 + 0,240 076 863 897 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 946 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 946 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 946 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 946 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0000 1101 0110 1100 0011 1001 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 945 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100