-0,000 282 005 947 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 947 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 947 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 947 2| = 0,000 282 005 947 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 947 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 947 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 894 4;
  • 2) 0,000 564 011 894 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 788 8;
  • 3) 0,001 128 023 788 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 577 6;
  • 4) 0,002 256 047 577 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 155 2;
  • 5) 0,004 512 095 155 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 310 4;
  • 6) 0,009 024 190 310 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 620 8;
  • 7) 0,018 048 380 620 8 × 2 = 0 + 0,036 096 761 241 6;
  • 8) 0,036 096 761 241 6 × 2 = 0 + 0,072 193 522 483 2;
  • 9) 0,072 193 522 483 2 × 2 = 0 + 0,144 387 044 966 4;
  • 10) 0,144 387 044 966 4 × 2 = 0 + 0,288 774 089 932 8;
  • 11) 0,288 774 089 932 8 × 2 = 0 + 0,577 548 179 865 6;
  • 12) 0,577 548 179 865 6 × 2 = 1 + 0,155 096 359 731 2;
  • 13) 0,155 096 359 731 2 × 2 = 0 + 0,310 192 719 462 4;
  • 14) 0,310 192 719 462 4 × 2 = 0 + 0,620 385 438 924 8;
  • 15) 0,620 385 438 924 8 × 2 = 1 + 0,240 770 877 849 6;
  • 16) 0,240 770 877 849 6 × 2 = 0 + 0,481 541 755 699 2;
  • 17) 0,481 541 755 699 2 × 2 = 0 + 0,963 083 511 398 4;
  • 18) 0,963 083 511 398 4 × 2 = 1 + 0,926 167 022 796 8;
  • 19) 0,926 167 022 796 8 × 2 = 1 + 0,852 334 045 593 6;
  • 20) 0,852 334 045 593 6 × 2 = 1 + 0,704 668 091 187 2;
  • 21) 0,704 668 091 187 2 × 2 = 1 + 0,409 336 182 374 4;
  • 22) 0,409 336 182 374 4 × 2 = 0 + 0,818 672 364 748 8;
  • 23) 0,818 672 364 748 8 × 2 = 1 + 0,637 344 729 497 6;
  • 24) 0,637 344 729 497 6 × 2 = 1 + 0,274 689 458 995 2;
  • 25) 0,274 689 458 995 2 × 2 = 0 + 0,549 378 917 990 4;
  • 26) 0,549 378 917 990 4 × 2 = 1 + 0,098 757 835 980 8;
  • 27) 0,098 757 835 980 8 × 2 = 0 + 0,197 515 671 961 6;
  • 28) 0,197 515 671 961 6 × 2 = 0 + 0,395 031 343 923 2;
  • 29) 0,395 031 343 923 2 × 2 = 0 + 0,790 062 687 846 4;
  • 30) 0,790 062 687 846 4 × 2 = 1 + 0,580 125 375 692 8;
  • 31) 0,580 125 375 692 8 × 2 = 1 + 0,160 250 751 385 6;
  • 32) 0,160 250 751 385 6 × 2 = 0 + 0,320 501 502 771 2;
  • 33) 0,320 501 502 771 2 × 2 = 0 + 0,641 003 005 542 4;
  • 34) 0,641 003 005 542 4 × 2 = 1 + 0,282 006 011 084 8;
  • 35) 0,282 006 011 084 8 × 2 = 0 + 0,564 012 022 169 6;
  • 36) 0,564 012 022 169 6 × 2 = 1 + 0,128 024 044 339 2;
  • 37) 0,128 024 044 339 2 × 2 = 0 + 0,256 048 088 678 4;
  • 38) 0,256 048 088 678 4 × 2 = 0 + 0,512 096 177 356 8;
  • 39) 0,512 096 177 356 8 × 2 = 1 + 0,024 192 354 713 6;
  • 40) 0,024 192 354 713 6 × 2 = 0 + 0,048 384 709 427 2;
  • 41) 0,048 384 709 427 2 × 2 = 0 + 0,096 769 418 854 4;
  • 42) 0,096 769 418 854 4 × 2 = 0 + 0,193 538 837 708 8;
  • 43) 0,193 538 837 708 8 × 2 = 0 + 0,387 077 675 417 6;
  • 44) 0,387 077 675 417 6 × 2 = 0 + 0,774 155 350 835 2;
  • 45) 0,774 155 350 835 2 × 2 = 1 + 0,548 310 701 670 4;
  • 46) 0,548 310 701 670 4 × 2 = 1 + 0,096 621 403 340 8;
  • 47) 0,096 621 403 340 8 × 2 = 0 + 0,193 242 806 681 6;
  • 48) 0,193 242 806 681 6 × 2 = 0 + 0,386 485 613 363 2;
  • 49) 0,386 485 613 363 2 × 2 = 0 + 0,772 971 226 726 4;
  • 50) 0,772 971 226 726 4 × 2 = 1 + 0,545 942 453 452 8;
  • 51) 0,545 942 453 452 8 × 2 = 1 + 0,091 884 906 905 6;
  • 52) 0,091 884 906 905 6 × 2 = 0 + 0,183 769 813 811 2;
  • 53) 0,183 769 813 811 2 × 2 = 0 + 0,367 539 627 622 4;
  • 54) 0,367 539 627 622 4 × 2 = 0 + 0,735 079 255 244 8;
  • 55) 0,735 079 255 244 8 × 2 = 1 + 0,470 158 510 489 6;
  • 56) 0,470 158 510 489 6 × 2 = 0 + 0,940 317 020 979 2;
  • 57) 0,940 317 020 979 2 × 2 = 1 + 0,880 634 041 958 4;
  • 58) 0,880 634 041 958 4 × 2 = 1 + 0,761 268 083 916 8;
  • 59) 0,761 268 083 916 8 × 2 = 1 + 0,522 536 167 833 6;
  • 60) 0,522 536 167 833 6 × 2 = 1 + 0,045 072 335 667 2;
  • 61) 0,045 072 335 667 2 × 2 = 0 + 0,090 144 671 334 4;
  • 62) 0,090 144 671 334 4 × 2 = 0 + 0,180 289 342 668 8;
  • 63) 0,180 289 342 668 8 × 2 = 0 + 0,360 578 685 337 6;
  • 64) 0,360 578 685 337 6 × 2 = 0 + 0,721 157 370 675 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 947 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 947 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 947 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 947 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0010 0000 1100 0110 0010 1111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 951 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100