-0,000 282 005 949 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 949 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 949 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 949 4| = 0,000 282 005 949 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 949 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 949 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 898 8;
  • 2) 0,000 564 011 898 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 797 6;
  • 3) 0,001 128 023 797 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 595 2;
  • 4) 0,002 256 047 595 2 × 2 = 0 + 0,004 512 095 190 4;
  • 5) 0,004 512 095 190 4 × 2 = 0 + 0,009 024 190 380 8;
  • 6) 0,009 024 190 380 8 × 2 = 0 + 0,018 048 380 761 6;
  • 7) 0,018 048 380 761 6 × 2 = 0 + 0,036 096 761 523 2;
  • 8) 0,036 096 761 523 2 × 2 = 0 + 0,072 193 523 046 4;
  • 9) 0,072 193 523 046 4 × 2 = 0 + 0,144 387 046 092 8;
  • 10) 0,144 387 046 092 8 × 2 = 0 + 0,288 774 092 185 6;
  • 11) 0,288 774 092 185 6 × 2 = 0 + 0,577 548 184 371 2;
  • 12) 0,577 548 184 371 2 × 2 = 1 + 0,155 096 368 742 4;
  • 13) 0,155 096 368 742 4 × 2 = 0 + 0,310 192 737 484 8;
  • 14) 0,310 192 737 484 8 × 2 = 0 + 0,620 385 474 969 6;
  • 15) 0,620 385 474 969 6 × 2 = 1 + 0,240 770 949 939 2;
  • 16) 0,240 770 949 939 2 × 2 = 0 + 0,481 541 899 878 4;
  • 17) 0,481 541 899 878 4 × 2 = 0 + 0,963 083 799 756 8;
  • 18) 0,963 083 799 756 8 × 2 = 1 + 0,926 167 599 513 6;
  • 19) 0,926 167 599 513 6 × 2 = 1 + 0,852 335 199 027 2;
  • 20) 0,852 335 199 027 2 × 2 = 1 + 0,704 670 398 054 4;
  • 21) 0,704 670 398 054 4 × 2 = 1 + 0,409 340 796 108 8;
  • 22) 0,409 340 796 108 8 × 2 = 0 + 0,818 681 592 217 6;
  • 23) 0,818 681 592 217 6 × 2 = 1 + 0,637 363 184 435 2;
  • 24) 0,637 363 184 435 2 × 2 = 1 + 0,274 726 368 870 4;
  • 25) 0,274 726 368 870 4 × 2 = 0 + 0,549 452 737 740 8;
  • 26) 0,549 452 737 740 8 × 2 = 1 + 0,098 905 475 481 6;
  • 27) 0,098 905 475 481 6 × 2 = 0 + 0,197 810 950 963 2;
  • 28) 0,197 810 950 963 2 × 2 = 0 + 0,395 621 901 926 4;
  • 29) 0,395 621 901 926 4 × 2 = 0 + 0,791 243 803 852 8;
  • 30) 0,791 243 803 852 8 × 2 = 1 + 0,582 487 607 705 6;
  • 31) 0,582 487 607 705 6 × 2 = 1 + 0,164 975 215 411 2;
  • 32) 0,164 975 215 411 2 × 2 = 0 + 0,329 950 430 822 4;
  • 33) 0,329 950 430 822 4 × 2 = 0 + 0,659 900 861 644 8;
  • 34) 0,659 900 861 644 8 × 2 = 1 + 0,319 801 723 289 6;
  • 35) 0,319 801 723 289 6 × 2 = 0 + 0,639 603 446 579 2;
  • 36) 0,639 603 446 579 2 × 2 = 1 + 0,279 206 893 158 4;
  • 37) 0,279 206 893 158 4 × 2 = 0 + 0,558 413 786 316 8;
  • 38) 0,558 413 786 316 8 × 2 = 1 + 0,116 827 572 633 6;
  • 39) 0,116 827 572 633 6 × 2 = 0 + 0,233 655 145 267 2;
  • 40) 0,233 655 145 267 2 × 2 = 0 + 0,467 310 290 534 4;
  • 41) 0,467 310 290 534 4 × 2 = 0 + 0,934 620 581 068 8;
  • 42) 0,934 620 581 068 8 × 2 = 1 + 0,869 241 162 137 6;
  • 43) 0,869 241 162 137 6 × 2 = 1 + 0,738 482 324 275 2;
  • 44) 0,738 482 324 275 2 × 2 = 1 + 0,476 964 648 550 4;
  • 45) 0,476 964 648 550 4 × 2 = 0 + 0,953 929 297 100 8;
  • 46) 0,953 929 297 100 8 × 2 = 1 + 0,907 858 594 201 6;
  • 47) 0,907 858 594 201 6 × 2 = 1 + 0,815 717 188 403 2;
  • 48) 0,815 717 188 403 2 × 2 = 1 + 0,631 434 376 806 4;
  • 49) 0,631 434 376 806 4 × 2 = 1 + 0,262 868 753 612 8;
  • 50) 0,262 868 753 612 8 × 2 = 0 + 0,525 737 507 225 6;
  • 51) 0,525 737 507 225 6 × 2 = 1 + 0,051 475 014 451 2;
  • 52) 0,051 475 014 451 2 × 2 = 0 + 0,102 950 028 902 4;
  • 53) 0,102 950 028 902 4 × 2 = 0 + 0,205 900 057 804 8;
  • 54) 0,205 900 057 804 8 × 2 = 0 + 0,411 800 115 609 6;
  • 55) 0,411 800 115 609 6 × 2 = 0 + 0,823 600 231 219 2;
  • 56) 0,823 600 231 219 2 × 2 = 1 + 0,647 200 462 438 4;
  • 57) 0,647 200 462 438 4 × 2 = 1 + 0,294 400 924 876 8;
  • 58) 0,294 400 924 876 8 × 2 = 0 + 0,588 801 849 753 6;
  • 59) 0,588 801 849 753 6 × 2 = 1 + 0,177 603 699 507 2;
  • 60) 0,177 603 699 507 2 × 2 = 0 + 0,355 207 399 014 4;
  • 61) 0,355 207 399 014 4 × 2 = 0 + 0,710 414 798 028 8;
  • 62) 0,710 414 798 028 8 × 2 = 1 + 0,420 829 596 057 6;
  • 63) 0,420 829 596 057 6 × 2 = 0 + 0,841 659 192 115 2;
  • 64) 0,841 659 192 115 2 × 2 = 1 + 0,683 318 384 230 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 949 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 949 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 949 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 949 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0111 0111 1010 0001 1010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 950 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100