-0,000 282 005 950 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 950 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 950 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 950 6| = 0,000 282 005 950 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 950 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 950 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 901 2;
  • 2) 0,000 564 011 901 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 802 4;
  • 3) 0,001 128 023 802 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 604 8;
  • 4) 0,002 256 047 604 8 × 2 = 0 + 0,004 512 095 209 6;
  • 5) 0,004 512 095 209 6 × 2 = 0 + 0,009 024 190 419 2;
  • 6) 0,009 024 190 419 2 × 2 = 0 + 0,018 048 380 838 4;
  • 7) 0,018 048 380 838 4 × 2 = 0 + 0,036 096 761 676 8;
  • 8) 0,036 096 761 676 8 × 2 = 0 + 0,072 193 523 353 6;
  • 9) 0,072 193 523 353 6 × 2 = 0 + 0,144 387 046 707 2;
  • 10) 0,144 387 046 707 2 × 2 = 0 + 0,288 774 093 414 4;
  • 11) 0,288 774 093 414 4 × 2 = 0 + 0,577 548 186 828 8;
  • 12) 0,577 548 186 828 8 × 2 = 1 + 0,155 096 373 657 6;
  • 13) 0,155 096 373 657 6 × 2 = 0 + 0,310 192 747 315 2;
  • 14) 0,310 192 747 315 2 × 2 = 0 + 0,620 385 494 630 4;
  • 15) 0,620 385 494 630 4 × 2 = 1 + 0,240 770 989 260 8;
  • 16) 0,240 770 989 260 8 × 2 = 0 + 0,481 541 978 521 6;
  • 17) 0,481 541 978 521 6 × 2 = 0 + 0,963 083 957 043 2;
  • 18) 0,963 083 957 043 2 × 2 = 1 + 0,926 167 914 086 4;
  • 19) 0,926 167 914 086 4 × 2 = 1 + 0,852 335 828 172 8;
  • 20) 0,852 335 828 172 8 × 2 = 1 + 0,704 671 656 345 6;
  • 21) 0,704 671 656 345 6 × 2 = 1 + 0,409 343 312 691 2;
  • 22) 0,409 343 312 691 2 × 2 = 0 + 0,818 686 625 382 4;
  • 23) 0,818 686 625 382 4 × 2 = 1 + 0,637 373 250 764 8;
  • 24) 0,637 373 250 764 8 × 2 = 1 + 0,274 746 501 529 6;
  • 25) 0,274 746 501 529 6 × 2 = 0 + 0,549 493 003 059 2;
  • 26) 0,549 493 003 059 2 × 2 = 1 + 0,098 986 006 118 4;
  • 27) 0,098 986 006 118 4 × 2 = 0 + 0,197 972 012 236 8;
  • 28) 0,197 972 012 236 8 × 2 = 0 + 0,395 944 024 473 6;
  • 29) 0,395 944 024 473 6 × 2 = 0 + 0,791 888 048 947 2;
  • 30) 0,791 888 048 947 2 × 2 = 1 + 0,583 776 097 894 4;
  • 31) 0,583 776 097 894 4 × 2 = 1 + 0,167 552 195 788 8;
  • 32) 0,167 552 195 788 8 × 2 = 0 + 0,335 104 391 577 6;
  • 33) 0,335 104 391 577 6 × 2 = 0 + 0,670 208 783 155 2;
  • 34) 0,670 208 783 155 2 × 2 = 1 + 0,340 417 566 310 4;
  • 35) 0,340 417 566 310 4 × 2 = 0 + 0,680 835 132 620 8;
  • 36) 0,680 835 132 620 8 × 2 = 1 + 0,361 670 265 241 6;
  • 37) 0,361 670 265 241 6 × 2 = 0 + 0,723 340 530 483 2;
  • 38) 0,723 340 530 483 2 × 2 = 1 + 0,446 681 060 966 4;
  • 39) 0,446 681 060 966 4 × 2 = 0 + 0,893 362 121 932 8;
  • 40) 0,893 362 121 932 8 × 2 = 1 + 0,786 724 243 865 6;
  • 41) 0,786 724 243 865 6 × 2 = 1 + 0,573 448 487 731 2;
  • 42) 0,573 448 487 731 2 × 2 = 1 + 0,146 896 975 462 4;
  • 43) 0,146 896 975 462 4 × 2 = 0 + 0,293 793 950 924 8;
  • 44) 0,293 793 950 924 8 × 2 = 0 + 0,587 587 901 849 6;
  • 45) 0,587 587 901 849 6 × 2 = 1 + 0,175 175 803 699 2;
  • 46) 0,175 175 803 699 2 × 2 = 0 + 0,350 351 607 398 4;
  • 47) 0,350 351 607 398 4 × 2 = 0 + 0,700 703 214 796 8;
  • 48) 0,700 703 214 796 8 × 2 = 1 + 0,401 406 429 593 6;
  • 49) 0,401 406 429 593 6 × 2 = 0 + 0,802 812 859 187 2;
  • 50) 0,802 812 859 187 2 × 2 = 1 + 0,605 625 718 374 4;
  • 51) 0,605 625 718 374 4 × 2 = 1 + 0,211 251 436 748 8;
  • 52) 0,211 251 436 748 8 × 2 = 0 + 0,422 502 873 497 6;
  • 53) 0,422 502 873 497 6 × 2 = 0 + 0,845 005 746 995 2;
  • 54) 0,845 005 746 995 2 × 2 = 1 + 0,690 011 493 990 4;
  • 55) 0,690 011 493 990 4 × 2 = 1 + 0,380 022 987 980 8;
  • 56) 0,380 022 987 980 8 × 2 = 0 + 0,760 045 975 961 6;
  • 57) 0,760 045 975 961 6 × 2 = 1 + 0,520 091 951 923 2;
  • 58) 0,520 091 951 923 2 × 2 = 1 + 0,040 183 903 846 4;
  • 59) 0,040 183 903 846 4 × 2 = 0 + 0,080 367 807 692 8;
  • 60) 0,080 367 807 692 8 × 2 = 0 + 0,160 735 615 385 6;
  • 61) 0,160 735 615 385 6 × 2 = 0 + 0,321 471 230 771 2;
  • 62) 0,321 471 230 771 2 × 2 = 0 + 0,642 942 461 542 4;
  • 63) 0,642 942 461 542 4 × 2 = 1 + 0,285 884 923 084 8;
  • 64) 0,285 884 923 084 8 × 2 = 0 + 0,571 769 846 169 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 950 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 950 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 950 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 950 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1100 1001 0110 0110 1100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 959 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100