-0,000 282 005 950 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 950 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 950 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 950 7| = 0,000 282 005 950 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 950 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 950 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 901 4;
  • 2) 0,000 564 011 901 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 802 8;
  • 3) 0,001 128 023 802 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 605 6;
  • 4) 0,002 256 047 605 6 × 2 = 0 + 0,004 512 095 211 2;
  • 5) 0,004 512 095 211 2 × 2 = 0 + 0,009 024 190 422 4;
  • 6) 0,009 024 190 422 4 × 2 = 0 + 0,018 048 380 844 8;
  • 7) 0,018 048 380 844 8 × 2 = 0 + 0,036 096 761 689 6;
  • 8) 0,036 096 761 689 6 × 2 = 0 + 0,072 193 523 379 2;
  • 9) 0,072 193 523 379 2 × 2 = 0 + 0,144 387 046 758 4;
  • 10) 0,144 387 046 758 4 × 2 = 0 + 0,288 774 093 516 8;
  • 11) 0,288 774 093 516 8 × 2 = 0 + 0,577 548 187 033 6;
  • 12) 0,577 548 187 033 6 × 2 = 1 + 0,155 096 374 067 2;
  • 13) 0,155 096 374 067 2 × 2 = 0 + 0,310 192 748 134 4;
  • 14) 0,310 192 748 134 4 × 2 = 0 + 0,620 385 496 268 8;
  • 15) 0,620 385 496 268 8 × 2 = 1 + 0,240 770 992 537 6;
  • 16) 0,240 770 992 537 6 × 2 = 0 + 0,481 541 985 075 2;
  • 17) 0,481 541 985 075 2 × 2 = 0 + 0,963 083 970 150 4;
  • 18) 0,963 083 970 150 4 × 2 = 1 + 0,926 167 940 300 8;
  • 19) 0,926 167 940 300 8 × 2 = 1 + 0,852 335 880 601 6;
  • 20) 0,852 335 880 601 6 × 2 = 1 + 0,704 671 761 203 2;
  • 21) 0,704 671 761 203 2 × 2 = 1 + 0,409 343 522 406 4;
  • 22) 0,409 343 522 406 4 × 2 = 0 + 0,818 687 044 812 8;
  • 23) 0,818 687 044 812 8 × 2 = 1 + 0,637 374 089 625 6;
  • 24) 0,637 374 089 625 6 × 2 = 1 + 0,274 748 179 251 2;
  • 25) 0,274 748 179 251 2 × 2 = 0 + 0,549 496 358 502 4;
  • 26) 0,549 496 358 502 4 × 2 = 1 + 0,098 992 717 004 8;
  • 27) 0,098 992 717 004 8 × 2 = 0 + 0,197 985 434 009 6;
  • 28) 0,197 985 434 009 6 × 2 = 0 + 0,395 970 868 019 2;
  • 29) 0,395 970 868 019 2 × 2 = 0 + 0,791 941 736 038 4;
  • 30) 0,791 941 736 038 4 × 2 = 1 + 0,583 883 472 076 8;
  • 31) 0,583 883 472 076 8 × 2 = 1 + 0,167 766 944 153 6;
  • 32) 0,167 766 944 153 6 × 2 = 0 + 0,335 533 888 307 2;
  • 33) 0,335 533 888 307 2 × 2 = 0 + 0,671 067 776 614 4;
  • 34) 0,671 067 776 614 4 × 2 = 1 + 0,342 135 553 228 8;
  • 35) 0,342 135 553 228 8 × 2 = 0 + 0,684 271 106 457 6;
  • 36) 0,684 271 106 457 6 × 2 = 1 + 0,368 542 212 915 2;
  • 37) 0,368 542 212 915 2 × 2 = 0 + 0,737 084 425 830 4;
  • 38) 0,737 084 425 830 4 × 2 = 1 + 0,474 168 851 660 8;
  • 39) 0,474 168 851 660 8 × 2 = 0 + 0,948 337 703 321 6;
  • 40) 0,948 337 703 321 6 × 2 = 1 + 0,896 675 406 643 2;
  • 41) 0,896 675 406 643 2 × 2 = 1 + 0,793 350 813 286 4;
  • 42) 0,793 350 813 286 4 × 2 = 1 + 0,586 701 626 572 8;
  • 43) 0,586 701 626 572 8 × 2 = 1 + 0,173 403 253 145 6;
  • 44) 0,173 403 253 145 6 × 2 = 0 + 0,346 806 506 291 2;
  • 45) 0,346 806 506 291 2 × 2 = 0 + 0,693 613 012 582 4;
  • 46) 0,693 613 012 582 4 × 2 = 1 + 0,387 226 025 164 8;
  • 47) 0,387 226 025 164 8 × 2 = 0 + 0,774 452 050 329 6;
  • 48) 0,774 452 050 329 6 × 2 = 1 + 0,548 904 100 659 2;
  • 49) 0,548 904 100 659 2 × 2 = 1 + 0,097 808 201 318 4;
  • 50) 0,097 808 201 318 4 × 2 = 0 + 0,195 616 402 636 8;
  • 51) 0,195 616 402 636 8 × 2 = 0 + 0,391 232 805 273 6;
  • 52) 0,391 232 805 273 6 × 2 = 0 + 0,782 465 610 547 2;
  • 53) 0,782 465 610 547 2 × 2 = 1 + 0,564 931 221 094 4;
  • 54) 0,564 931 221 094 4 × 2 = 1 + 0,129 862 442 188 8;
  • 55) 0,129 862 442 188 8 × 2 = 0 + 0,259 724 884 377 6;
  • 56) 0,259 724 884 377 6 × 2 = 0 + 0,519 449 768 755 2;
  • 57) 0,519 449 768 755 2 × 2 = 1 + 0,038 899 537 510 4;
  • 58) 0,038 899 537 510 4 × 2 = 0 + 0,077 799 075 020 8;
  • 59) 0,077 799 075 020 8 × 2 = 0 + 0,155 598 150 041 6;
  • 60) 0,155 598 150 041 6 × 2 = 0 + 0,311 196 300 083 2;
  • 61) 0,311 196 300 083 2 × 2 = 0 + 0,622 392 600 166 4;
  • 62) 0,622 392 600 166 4 × 2 = 1 + 0,244 785 200 332 8;
  • 63) 0,244 785 200 332 8 × 2 = 0 + 0,489 570 400 665 6;
  • 64) 0,489 570 400 665 6 × 2 = 0 + 0,979 140 801 331 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 950 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 950 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 950 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 950 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0101 1110 0101 1000 1100 1000 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 959 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100