-0,000 282 005 955 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 955 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 955 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 955 3| = 0,000 282 005 955 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 955 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 955 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 910 6;
  • 2) 0,000 564 011 910 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 821 2;
  • 3) 0,001 128 023 821 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 642 4;
  • 4) 0,002 256 047 642 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 284 8;
  • 5) 0,004 512 095 284 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 569 6;
  • 6) 0,009 024 190 569 6 × 2 = 0 + 0,018 048 381 139 2;
  • 7) 0,018 048 381 139 2 × 2 = 0 + 0,036 096 762 278 4;
  • 8) 0,036 096 762 278 4 × 2 = 0 + 0,072 193 524 556 8;
  • 9) 0,072 193 524 556 8 × 2 = 0 + 0,144 387 049 113 6;
  • 10) 0,144 387 049 113 6 × 2 = 0 + 0,288 774 098 227 2;
  • 11) 0,288 774 098 227 2 × 2 = 0 + 0,577 548 196 454 4;
  • 12) 0,577 548 196 454 4 × 2 = 1 + 0,155 096 392 908 8;
  • 13) 0,155 096 392 908 8 × 2 = 0 + 0,310 192 785 817 6;
  • 14) 0,310 192 785 817 6 × 2 = 0 + 0,620 385 571 635 2;
  • 15) 0,620 385 571 635 2 × 2 = 1 + 0,240 771 143 270 4;
  • 16) 0,240 771 143 270 4 × 2 = 0 + 0,481 542 286 540 8;
  • 17) 0,481 542 286 540 8 × 2 = 0 + 0,963 084 573 081 6;
  • 18) 0,963 084 573 081 6 × 2 = 1 + 0,926 169 146 163 2;
  • 19) 0,926 169 146 163 2 × 2 = 1 + 0,852 338 292 326 4;
  • 20) 0,852 338 292 326 4 × 2 = 1 + 0,704 676 584 652 8;
  • 21) 0,704 676 584 652 8 × 2 = 1 + 0,409 353 169 305 6;
  • 22) 0,409 353 169 305 6 × 2 = 0 + 0,818 706 338 611 2;
  • 23) 0,818 706 338 611 2 × 2 = 1 + 0,637 412 677 222 4;
  • 24) 0,637 412 677 222 4 × 2 = 1 + 0,274 825 354 444 8;
  • 25) 0,274 825 354 444 8 × 2 = 0 + 0,549 650 708 889 6;
  • 26) 0,549 650 708 889 6 × 2 = 1 + 0,099 301 417 779 2;
  • 27) 0,099 301 417 779 2 × 2 = 0 + 0,198 602 835 558 4;
  • 28) 0,198 602 835 558 4 × 2 = 0 + 0,397 205 671 116 8;
  • 29) 0,397 205 671 116 8 × 2 = 0 + 0,794 411 342 233 6;
  • 30) 0,794 411 342 233 6 × 2 = 1 + 0,588 822 684 467 2;
  • 31) 0,588 822 684 467 2 × 2 = 1 + 0,177 645 368 934 4;
  • 32) 0,177 645 368 934 4 × 2 = 0 + 0,355 290 737 868 8;
  • 33) 0,355 290 737 868 8 × 2 = 0 + 0,710 581 475 737 6;
  • 34) 0,710 581 475 737 6 × 2 = 1 + 0,421 162 951 475 2;
  • 35) 0,421 162 951 475 2 × 2 = 0 + 0,842 325 902 950 4;
  • 36) 0,842 325 902 950 4 × 2 = 1 + 0,684 651 805 900 8;
  • 37) 0,684 651 805 900 8 × 2 = 1 + 0,369 303 611 801 6;
  • 38) 0,369 303 611 801 6 × 2 = 0 + 0,738 607 223 603 2;
  • 39) 0,738 607 223 603 2 × 2 = 1 + 0,477 214 447 206 4;
  • 40) 0,477 214 447 206 4 × 2 = 0 + 0,954 428 894 412 8;
  • 41) 0,954 428 894 412 8 × 2 = 1 + 0,908 857 788 825 6;
  • 42) 0,908 857 788 825 6 × 2 = 1 + 0,817 715 577 651 2;
  • 43) 0,817 715 577 651 2 × 2 = 1 + 0,635 431 155 302 4;
  • 44) 0,635 431 155 302 4 × 2 = 1 + 0,270 862 310 604 8;
  • 45) 0,270 862 310 604 8 × 2 = 0 + 0,541 724 621 209 6;
  • 46) 0,541 724 621 209 6 × 2 = 1 + 0,083 449 242 419 2;
  • 47) 0,083 449 242 419 2 × 2 = 0 + 0,166 898 484 838 4;
  • 48) 0,166 898 484 838 4 × 2 = 0 + 0,333 796 969 676 8;
  • 49) 0,333 796 969 676 8 × 2 = 0 + 0,667 593 939 353 6;
  • 50) 0,667 593 939 353 6 × 2 = 1 + 0,335 187 878 707 2;
  • 51) 0,335 187 878 707 2 × 2 = 0 + 0,670 375 757 414 4;
  • 52) 0,670 375 757 414 4 × 2 = 1 + 0,340 751 514 828 8;
  • 53) 0,340 751 514 828 8 × 2 = 0 + 0,681 503 029 657 6;
  • 54) 0,681 503 029 657 6 × 2 = 1 + 0,363 006 059 315 2;
  • 55) 0,363 006 059 315 2 × 2 = 0 + 0,726 012 118 630 4;
  • 56) 0,726 012 118 630 4 × 2 = 1 + 0,452 024 237 260 8;
  • 57) 0,452 024 237 260 8 × 2 = 0 + 0,904 048 474 521 6;
  • 58) 0,904 048 474 521 6 × 2 = 1 + 0,808 096 949 043 2;
  • 59) 0,808 096 949 043 2 × 2 = 1 + 0,616 193 898 086 4;
  • 60) 0,616 193 898 086 4 × 2 = 1 + 0,232 387 796 172 8;
  • 61) 0,232 387 796 172 8 × 2 = 0 + 0,464 775 592 345 6;
  • 62) 0,464 775 592 345 6 × 2 = 0 + 0,929 551 184 691 2;
  • 63) 0,929 551 184 691 2 × 2 = 1 + 0,859 102 369 382 4;
  • 64) 0,859 102 369 382 4 × 2 = 1 + 0,718 204 738 764 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 955 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 955 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 955 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 955 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1010 1111 0100 0101 0101 0111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 953 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100