-0,000 282 005 957 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 957 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 957 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 957 6| = 0,000 282 005 957 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 957 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 957 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 915 2;
  • 2) 0,000 564 011 915 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 830 4;
  • 3) 0,001 128 023 830 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 660 8;
  • 4) 0,002 256 047 660 8 × 2 = 0 + 0,004 512 095 321 6;
  • 5) 0,004 512 095 321 6 × 2 = 0 + 0,009 024 190 643 2;
  • 6) 0,009 024 190 643 2 × 2 = 0 + 0,018 048 381 286 4;
  • 7) 0,018 048 381 286 4 × 2 = 0 + 0,036 096 762 572 8;
  • 8) 0,036 096 762 572 8 × 2 = 0 + 0,072 193 525 145 6;
  • 9) 0,072 193 525 145 6 × 2 = 0 + 0,144 387 050 291 2;
  • 10) 0,144 387 050 291 2 × 2 = 0 + 0,288 774 100 582 4;
  • 11) 0,288 774 100 582 4 × 2 = 0 + 0,577 548 201 164 8;
  • 12) 0,577 548 201 164 8 × 2 = 1 + 0,155 096 402 329 6;
  • 13) 0,155 096 402 329 6 × 2 = 0 + 0,310 192 804 659 2;
  • 14) 0,310 192 804 659 2 × 2 = 0 + 0,620 385 609 318 4;
  • 15) 0,620 385 609 318 4 × 2 = 1 + 0,240 771 218 636 8;
  • 16) 0,240 771 218 636 8 × 2 = 0 + 0,481 542 437 273 6;
  • 17) 0,481 542 437 273 6 × 2 = 0 + 0,963 084 874 547 2;
  • 18) 0,963 084 874 547 2 × 2 = 1 + 0,926 169 749 094 4;
  • 19) 0,926 169 749 094 4 × 2 = 1 + 0,852 339 498 188 8;
  • 20) 0,852 339 498 188 8 × 2 = 1 + 0,704 678 996 377 6;
  • 21) 0,704 678 996 377 6 × 2 = 1 + 0,409 357 992 755 2;
  • 22) 0,409 357 992 755 2 × 2 = 0 + 0,818 715 985 510 4;
  • 23) 0,818 715 985 510 4 × 2 = 1 + 0,637 431 971 020 8;
  • 24) 0,637 431 971 020 8 × 2 = 1 + 0,274 863 942 041 6;
  • 25) 0,274 863 942 041 6 × 2 = 0 + 0,549 727 884 083 2;
  • 26) 0,549 727 884 083 2 × 2 = 1 + 0,099 455 768 166 4;
  • 27) 0,099 455 768 166 4 × 2 = 0 + 0,198 911 536 332 8;
  • 28) 0,198 911 536 332 8 × 2 = 0 + 0,397 823 072 665 6;
  • 29) 0,397 823 072 665 6 × 2 = 0 + 0,795 646 145 331 2;
  • 30) 0,795 646 145 331 2 × 2 = 1 + 0,591 292 290 662 4;
  • 31) 0,591 292 290 662 4 × 2 = 1 + 0,182 584 581 324 8;
  • 32) 0,182 584 581 324 8 × 2 = 0 + 0,365 169 162 649 6;
  • 33) 0,365 169 162 649 6 × 2 = 0 + 0,730 338 325 299 2;
  • 34) 0,730 338 325 299 2 × 2 = 1 + 0,460 676 650 598 4;
  • 35) 0,460 676 650 598 4 × 2 = 0 + 0,921 353 301 196 8;
  • 36) 0,921 353 301 196 8 × 2 = 1 + 0,842 706 602 393 6;
  • 37) 0,842 706 602 393 6 × 2 = 1 + 0,685 413 204 787 2;
  • 38) 0,685 413 204 787 2 × 2 = 1 + 0,370 826 409 574 4;
  • 39) 0,370 826 409 574 4 × 2 = 0 + 0,741 652 819 148 8;
  • 40) 0,741 652 819 148 8 × 2 = 1 + 0,483 305 638 297 6;
  • 41) 0,483 305 638 297 6 × 2 = 0 + 0,966 611 276 595 2;
  • 42) 0,966 611 276 595 2 × 2 = 1 + 0,933 222 553 190 4;
  • 43) 0,933 222 553 190 4 × 2 = 1 + 0,866 445 106 380 8;
  • 44) 0,866 445 106 380 8 × 2 = 1 + 0,732 890 212 761 6;
  • 45) 0,732 890 212 761 6 × 2 = 1 + 0,465 780 425 523 2;
  • 46) 0,465 780 425 523 2 × 2 = 0 + 0,931 560 851 046 4;
  • 47) 0,931 560 851 046 4 × 2 = 1 + 0,863 121 702 092 8;
  • 48) 0,863 121 702 092 8 × 2 = 1 + 0,726 243 404 185 6;
  • 49) 0,726 243 404 185 6 × 2 = 1 + 0,452 486 808 371 2;
  • 50) 0,452 486 808 371 2 × 2 = 0 + 0,904 973 616 742 4;
  • 51) 0,904 973 616 742 4 × 2 = 1 + 0,809 947 233 484 8;
  • 52) 0,809 947 233 484 8 × 2 = 1 + 0,619 894 466 969 6;
  • 53) 0,619 894 466 969 6 × 2 = 1 + 0,239 788 933 939 2;
  • 54) 0,239 788 933 939 2 × 2 = 0 + 0,479 577 867 878 4;
  • 55) 0,479 577 867 878 4 × 2 = 0 + 0,959 155 735 756 8;
  • 56) 0,959 155 735 756 8 × 2 = 1 + 0,918 311 471 513 6;
  • 57) 0,918 311 471 513 6 × 2 = 1 + 0,836 622 943 027 2;
  • 58) 0,836 622 943 027 2 × 2 = 1 + 0,673 245 886 054 4;
  • 59) 0,673 245 886 054 4 × 2 = 1 + 0,346 491 772 108 8;
  • 60) 0,346 491 772 108 8 × 2 = 0 + 0,692 983 544 217 6;
  • 61) 0,692 983 544 217 6 × 2 = 1 + 0,385 967 088 435 2;
  • 62) 0,385 967 088 435 2 × 2 = 0 + 0,771 934 176 870 4;
  • 63) 0,771 934 176 870 4 × 2 = 1 + 0,543 868 353 740 8;
  • 64) 0,543 868 353 740 8 × 2 = 1 + 0,087 736 707 481 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 957 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 957 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 957 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 957 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 1101 0111 1011 1011 1001 1110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 959 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100