-0,000 282 005 964 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 964 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 964 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 964 3| = 0,000 282 005 964 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 964 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 964 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 928 6;
  • 2) 0,000 564 011 928 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 857 2;
  • 3) 0,001 128 023 857 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 714 4;
  • 4) 0,002 256 047 714 4 × 2 = 0 + 0,004 512 095 428 8;
  • 5) 0,004 512 095 428 8 × 2 = 0 + 0,009 024 190 857 6;
  • 6) 0,009 024 190 857 6 × 2 = 0 + 0,018 048 381 715 2;
  • 7) 0,018 048 381 715 2 × 2 = 0 + 0,036 096 763 430 4;
  • 8) 0,036 096 763 430 4 × 2 = 0 + 0,072 193 526 860 8;
  • 9) 0,072 193 526 860 8 × 2 = 0 + 0,144 387 053 721 6;
  • 10) 0,144 387 053 721 6 × 2 = 0 + 0,288 774 107 443 2;
  • 11) 0,288 774 107 443 2 × 2 = 0 + 0,577 548 214 886 4;
  • 12) 0,577 548 214 886 4 × 2 = 1 + 0,155 096 429 772 8;
  • 13) 0,155 096 429 772 8 × 2 = 0 + 0,310 192 859 545 6;
  • 14) 0,310 192 859 545 6 × 2 = 0 + 0,620 385 719 091 2;
  • 15) 0,620 385 719 091 2 × 2 = 1 + 0,240 771 438 182 4;
  • 16) 0,240 771 438 182 4 × 2 = 0 + 0,481 542 876 364 8;
  • 17) 0,481 542 876 364 8 × 2 = 0 + 0,963 085 752 729 6;
  • 18) 0,963 085 752 729 6 × 2 = 1 + 0,926 171 505 459 2;
  • 19) 0,926 171 505 459 2 × 2 = 1 + 0,852 343 010 918 4;
  • 20) 0,852 343 010 918 4 × 2 = 1 + 0,704 686 021 836 8;
  • 21) 0,704 686 021 836 8 × 2 = 1 + 0,409 372 043 673 6;
  • 22) 0,409 372 043 673 6 × 2 = 0 + 0,818 744 087 347 2;
  • 23) 0,818 744 087 347 2 × 2 = 1 + 0,637 488 174 694 4;
  • 24) 0,637 488 174 694 4 × 2 = 1 + 0,274 976 349 388 8;
  • 25) 0,274 976 349 388 8 × 2 = 0 + 0,549 952 698 777 6;
  • 26) 0,549 952 698 777 6 × 2 = 1 + 0,099 905 397 555 2;
  • 27) 0,099 905 397 555 2 × 2 = 0 + 0,199 810 795 110 4;
  • 28) 0,199 810 795 110 4 × 2 = 0 + 0,399 621 590 220 8;
  • 29) 0,399 621 590 220 8 × 2 = 0 + 0,799 243 180 441 6;
  • 30) 0,799 243 180 441 6 × 2 = 1 + 0,598 486 360 883 2;
  • 31) 0,598 486 360 883 2 × 2 = 1 + 0,196 972 721 766 4;
  • 32) 0,196 972 721 766 4 × 2 = 0 + 0,393 945 443 532 8;
  • 33) 0,393 945 443 532 8 × 2 = 0 + 0,787 890 887 065 6;
  • 34) 0,787 890 887 065 6 × 2 = 1 + 0,575 781 774 131 2;
  • 35) 0,575 781 774 131 2 × 2 = 1 + 0,151 563 548 262 4;
  • 36) 0,151 563 548 262 4 × 2 = 0 + 0,303 127 096 524 8;
  • 37) 0,303 127 096 524 8 × 2 = 0 + 0,606 254 193 049 6;
  • 38) 0,606 254 193 049 6 × 2 = 1 + 0,212 508 386 099 2;
  • 39) 0,212 508 386 099 2 × 2 = 0 + 0,425 016 772 198 4;
  • 40) 0,425 016 772 198 4 × 2 = 0 + 0,850 033 544 396 8;
  • 41) 0,850 033 544 396 8 × 2 = 1 + 0,700 067 088 793 6;
  • 42) 0,700 067 088 793 6 × 2 = 1 + 0,400 134 177 587 2;
  • 43) 0,400 134 177 587 2 × 2 = 0 + 0,800 268 355 174 4;
  • 44) 0,800 268 355 174 4 × 2 = 1 + 0,600 536 710 348 8;
  • 45) 0,600 536 710 348 8 × 2 = 1 + 0,201 073 420 697 6;
  • 46) 0,201 073 420 697 6 × 2 = 0 + 0,402 146 841 395 2;
  • 47) 0,402 146 841 395 2 × 2 = 0 + 0,804 293 682 790 4;
  • 48) 0,804 293 682 790 4 × 2 = 1 + 0,608 587 365 580 8;
  • 49) 0,608 587 365 580 8 × 2 = 1 + 0,217 174 731 161 6;
  • 50) 0,217 174 731 161 6 × 2 = 0 + 0,434 349 462 323 2;
  • 51) 0,434 349 462 323 2 × 2 = 0 + 0,868 698 924 646 4;
  • 52) 0,868 698 924 646 4 × 2 = 1 + 0,737 397 849 292 8;
  • 53) 0,737 397 849 292 8 × 2 = 1 + 0,474 795 698 585 6;
  • 54) 0,474 795 698 585 6 × 2 = 0 + 0,949 591 397 171 2;
  • 55) 0,949 591 397 171 2 × 2 = 1 + 0,899 182 794 342 4;
  • 56) 0,899 182 794 342 4 × 2 = 1 + 0,798 365 588 684 8;
  • 57) 0,798 365 588 684 8 × 2 = 1 + 0,596 731 177 369 6;
  • 58) 0,596 731 177 369 6 × 2 = 1 + 0,193 462 354 739 2;
  • 59) 0,193 462 354 739 2 × 2 = 0 + 0,386 924 709 478 4;
  • 60) 0,386 924 709 478 4 × 2 = 0 + 0,773 849 418 956 8;
  • 61) 0,773 849 418 956 8 × 2 = 1 + 0,547 698 837 913 6;
  • 62) 0,547 698 837 913 6 × 2 = 1 + 0,095 397 675 827 2;
  • 63) 0,095 397 675 827 2 × 2 = 0 + 0,190 795 351 654 4;
  • 64) 0,190 795 351 654 4 × 2 = 0 + 0,381 590 703 308 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 964 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 964 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 964 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 964 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0110 0100 1101 1001 1001 1011 1100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 973 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100