-0,000 282 005 973 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 973(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 973(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 973| = 0,000 282 005 973


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 973.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 973 × 2 = 0 + 0,000 564 011 946;
  • 2) 0,000 564 011 946 × 2 = 0 + 0,001 128 023 892;
  • 3) 0,001 128 023 892 × 2 = 0 + 0,002 256 047 784;
  • 4) 0,002 256 047 784 × 2 = 0 + 0,004 512 095 568;
  • 5) 0,004 512 095 568 × 2 = 0 + 0,009 024 191 136;
  • 6) 0,009 024 191 136 × 2 = 0 + 0,018 048 382 272;
  • 7) 0,018 048 382 272 × 2 = 0 + 0,036 096 764 544;
  • 8) 0,036 096 764 544 × 2 = 0 + 0,072 193 529 088;
  • 9) 0,072 193 529 088 × 2 = 0 + 0,144 387 058 176;
  • 10) 0,144 387 058 176 × 2 = 0 + 0,288 774 116 352;
  • 11) 0,288 774 116 352 × 2 = 0 + 0,577 548 232 704;
  • 12) 0,577 548 232 704 × 2 = 1 + 0,155 096 465 408;
  • 13) 0,155 096 465 408 × 2 = 0 + 0,310 192 930 816;
  • 14) 0,310 192 930 816 × 2 = 0 + 0,620 385 861 632;
  • 15) 0,620 385 861 632 × 2 = 1 + 0,240 771 723 264;
  • 16) 0,240 771 723 264 × 2 = 0 + 0,481 543 446 528;
  • 17) 0,481 543 446 528 × 2 = 0 + 0,963 086 893 056;
  • 18) 0,963 086 893 056 × 2 = 1 + 0,926 173 786 112;
  • 19) 0,926 173 786 112 × 2 = 1 + 0,852 347 572 224;
  • 20) 0,852 347 572 224 × 2 = 1 + 0,704 695 144 448;
  • 21) 0,704 695 144 448 × 2 = 1 + 0,409 390 288 896;
  • 22) 0,409 390 288 896 × 2 = 0 + 0,818 780 577 792;
  • 23) 0,818 780 577 792 × 2 = 1 + 0,637 561 155 584;
  • 24) 0,637 561 155 584 × 2 = 1 + 0,275 122 311 168;
  • 25) 0,275 122 311 168 × 2 = 0 + 0,550 244 622 336;
  • 26) 0,550 244 622 336 × 2 = 1 + 0,100 489 244 672;
  • 27) 0,100 489 244 672 × 2 = 0 + 0,200 978 489 344;
  • 28) 0,200 978 489 344 × 2 = 0 + 0,401 956 978 688;
  • 29) 0,401 956 978 688 × 2 = 0 + 0,803 913 957 376;
  • 30) 0,803 913 957 376 × 2 = 1 + 0,607 827 914 752;
  • 31) 0,607 827 914 752 × 2 = 1 + 0,215 655 829 504;
  • 32) 0,215 655 829 504 × 2 = 0 + 0,431 311 659 008;
  • 33) 0,431 311 659 008 × 2 = 0 + 0,862 623 318 016;
  • 34) 0,862 623 318 016 × 2 = 1 + 0,725 246 636 032;
  • 35) 0,725 246 636 032 × 2 = 1 + 0,450 493 272 064;
  • 36) 0,450 493 272 064 × 2 = 0 + 0,900 986 544 128;
  • 37) 0,900 986 544 128 × 2 = 1 + 0,801 973 088 256;
  • 38) 0,801 973 088 256 × 2 = 1 + 0,603 946 176 512;
  • 39) 0,603 946 176 512 × 2 = 1 + 0,207 892 353 024;
  • 40) 0,207 892 353 024 × 2 = 0 + 0,415 784 706 048;
  • 41) 0,415 784 706 048 × 2 = 0 + 0,831 569 412 096;
  • 42) 0,831 569 412 096 × 2 = 1 + 0,663 138 824 192;
  • 43) 0,663 138 824 192 × 2 = 1 + 0,326 277 648 384;
  • 44) 0,326 277 648 384 × 2 = 0 + 0,652 555 296 768;
  • 45) 0,652 555 296 768 × 2 = 1 + 0,305 110 593 536;
  • 46) 0,305 110 593 536 × 2 = 0 + 0,610 221 187 072;
  • 47) 0,610 221 187 072 × 2 = 1 + 0,220 442 374 144;
  • 48) 0,220 442 374 144 × 2 = 0 + 0,440 884 748 288;
  • 49) 0,440 884 748 288 × 2 = 0 + 0,881 769 496 576;
  • 50) 0,881 769 496 576 × 2 = 1 + 0,763 538 993 152;
  • 51) 0,763 538 993 152 × 2 = 1 + 0,527 077 986 304;
  • 52) 0,527 077 986 304 × 2 = 1 + 0,054 155 972 608;
  • 53) 0,054 155 972 608 × 2 = 0 + 0,108 311 945 216;
  • 54) 0,108 311 945 216 × 2 = 0 + 0,216 623 890 432;
  • 55) 0,216 623 890 432 × 2 = 0 + 0,433 247 780 864;
  • 56) 0,433 247 780 864 × 2 = 0 + 0,866 495 561 728;
  • 57) 0,866 495 561 728 × 2 = 1 + 0,732 991 123 456;
  • 58) 0,732 991 123 456 × 2 = 1 + 0,465 982 246 912;
  • 59) 0,465 982 246 912 × 2 = 0 + 0,931 964 493 824;
  • 60) 0,931 964 493 824 × 2 = 1 + 0,863 928 987 648;
  • 61) 0,863 928 987 648 × 2 = 1 + 0,727 857 975 296;
  • 62) 0,727 857 975 296 × 2 = 1 + 0,455 715 950 592;
  • 63) 0,455 715 950 592 × 2 = 0 + 0,911 431 901 184;
  • 64) 0,911 431 901 184 × 2 = 1 + 0,822 863 802 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 973(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 973(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 973(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 973 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0110 1110 0110 1010 0111 0000 1101 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 931 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100