-0,000 282 006 017 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 017(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 017(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 017| = 0,000 282 006 017


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 017.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 017 × 2 = 0 + 0,000 564 012 034;
  • 2) 0,000 564 012 034 × 2 = 0 + 0,001 128 024 068;
  • 3) 0,001 128 024 068 × 2 = 0 + 0,002 256 048 136;
  • 4) 0,002 256 048 136 × 2 = 0 + 0,004 512 096 272;
  • 5) 0,004 512 096 272 × 2 = 0 + 0,009 024 192 544;
  • 6) 0,009 024 192 544 × 2 = 0 + 0,018 048 385 088;
  • 7) 0,018 048 385 088 × 2 = 0 + 0,036 096 770 176;
  • 8) 0,036 096 770 176 × 2 = 0 + 0,072 193 540 352;
  • 9) 0,072 193 540 352 × 2 = 0 + 0,144 387 080 704;
  • 10) 0,144 387 080 704 × 2 = 0 + 0,288 774 161 408;
  • 11) 0,288 774 161 408 × 2 = 0 + 0,577 548 322 816;
  • 12) 0,577 548 322 816 × 2 = 1 + 0,155 096 645 632;
  • 13) 0,155 096 645 632 × 2 = 0 + 0,310 193 291 264;
  • 14) 0,310 193 291 264 × 2 = 0 + 0,620 386 582 528;
  • 15) 0,620 386 582 528 × 2 = 1 + 0,240 773 165 056;
  • 16) 0,240 773 165 056 × 2 = 0 + 0,481 546 330 112;
  • 17) 0,481 546 330 112 × 2 = 0 + 0,963 092 660 224;
  • 18) 0,963 092 660 224 × 2 = 1 + 0,926 185 320 448;
  • 19) 0,926 185 320 448 × 2 = 1 + 0,852 370 640 896;
  • 20) 0,852 370 640 896 × 2 = 1 + 0,704 741 281 792;
  • 21) 0,704 741 281 792 × 2 = 1 + 0,409 482 563 584;
  • 22) 0,409 482 563 584 × 2 = 0 + 0,818 965 127 168;
  • 23) 0,818 965 127 168 × 2 = 1 + 0,637 930 254 336;
  • 24) 0,637 930 254 336 × 2 = 1 + 0,275 860 508 672;
  • 25) 0,275 860 508 672 × 2 = 0 + 0,551 721 017 344;
  • 26) 0,551 721 017 344 × 2 = 1 + 0,103 442 034 688;
  • 27) 0,103 442 034 688 × 2 = 0 + 0,206 884 069 376;
  • 28) 0,206 884 069 376 × 2 = 0 + 0,413 768 138 752;
  • 29) 0,413 768 138 752 × 2 = 0 + 0,827 536 277 504;
  • 30) 0,827 536 277 504 × 2 = 1 + 0,655 072 555 008;
  • 31) 0,655 072 555 008 × 2 = 1 + 0,310 145 110 016;
  • 32) 0,310 145 110 016 × 2 = 0 + 0,620 290 220 032;
  • 33) 0,620 290 220 032 × 2 = 1 + 0,240 580 440 064;
  • 34) 0,240 580 440 064 × 2 = 0 + 0,481 160 880 128;
  • 35) 0,481 160 880 128 × 2 = 0 + 0,962 321 760 256;
  • 36) 0,962 321 760 256 × 2 = 1 + 0,924 643 520 512;
  • 37) 0,924 643 520 512 × 2 = 1 + 0,849 287 041 024;
  • 38) 0,849 287 041 024 × 2 = 1 + 0,698 574 082 048;
  • 39) 0,698 574 082 048 × 2 = 1 + 0,397 148 164 096;
  • 40) 0,397 148 164 096 × 2 = 0 + 0,794 296 328 192;
  • 41) 0,794 296 328 192 × 2 = 1 + 0,588 592 656 384;
  • 42) 0,588 592 656 384 × 2 = 1 + 0,177 185 312 768;
  • 43) 0,177 185 312 768 × 2 = 0 + 0,354 370 625 536;
  • 44) 0,354 370 625 536 × 2 = 0 + 0,708 741 251 072;
  • 45) 0,708 741 251 072 × 2 = 1 + 0,417 482 502 144;
  • 46) 0,417 482 502 144 × 2 = 0 + 0,834 965 004 288;
  • 47) 0,834 965 004 288 × 2 = 1 + 0,669 930 008 576;
  • 48) 0,669 930 008 576 × 2 = 1 + 0,339 860 017 152;
  • 49) 0,339 860 017 152 × 2 = 0 + 0,679 720 034 304;
  • 50) 0,679 720 034 304 × 2 = 1 + 0,359 440 068 608;
  • 51) 0,359 440 068 608 × 2 = 0 + 0,718 880 137 216;
  • 52) 0,718 880 137 216 × 2 = 1 + 0,437 760 274 432;
  • 53) 0,437 760 274 432 × 2 = 0 + 0,875 520 548 864;
  • 54) 0,875 520 548 864 × 2 = 1 + 0,751 041 097 728;
  • 55) 0,751 041 097 728 × 2 = 1 + 0,502 082 195 456;
  • 56) 0,502 082 195 456 × 2 = 1 + 0,004 164 390 912;
  • 57) 0,004 164 390 912 × 2 = 0 + 0,008 328 781 824;
  • 58) 0,008 328 781 824 × 2 = 0 + 0,016 657 563 648;
  • 59) 0,016 657 563 648 × 2 = 0 + 0,033 315 127 296;
  • 60) 0,033 315 127 296 × 2 = 0 + 0,066 630 254 592;
  • 61) 0,066 630 254 592 × 2 = 0 + 0,133 260 509 184;
  • 62) 0,133 260 509 184 × 2 = 0 + 0,266 521 018 368;
  • 63) 0,266 521 018 368 × 2 = 0 + 0,533 042 036 736;
  • 64) 0,533 042 036 736 × 2 = 1 + 0,066 084 073 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 017(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 017(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 017(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001


Numărul zecimal -0,000 282 006 017 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 1001 1110 1100 1011 0101 0111 0000 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 087 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100