-0,000 282 006 031 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 031(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 031(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 031| = 0,000 282 006 031


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 031.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 031 × 2 = 0 + 0,000 564 012 062;
  • 2) 0,000 564 012 062 × 2 = 0 + 0,001 128 024 124;
  • 3) 0,001 128 024 124 × 2 = 0 + 0,002 256 048 248;
  • 4) 0,002 256 048 248 × 2 = 0 + 0,004 512 096 496;
  • 5) 0,004 512 096 496 × 2 = 0 + 0,009 024 192 992;
  • 6) 0,009 024 192 992 × 2 = 0 + 0,018 048 385 984;
  • 7) 0,018 048 385 984 × 2 = 0 + 0,036 096 771 968;
  • 8) 0,036 096 771 968 × 2 = 0 + 0,072 193 543 936;
  • 9) 0,072 193 543 936 × 2 = 0 + 0,144 387 087 872;
  • 10) 0,144 387 087 872 × 2 = 0 + 0,288 774 175 744;
  • 11) 0,288 774 175 744 × 2 = 0 + 0,577 548 351 488;
  • 12) 0,577 548 351 488 × 2 = 1 + 0,155 096 702 976;
  • 13) 0,155 096 702 976 × 2 = 0 + 0,310 193 405 952;
  • 14) 0,310 193 405 952 × 2 = 0 + 0,620 386 811 904;
  • 15) 0,620 386 811 904 × 2 = 1 + 0,240 773 623 808;
  • 16) 0,240 773 623 808 × 2 = 0 + 0,481 547 247 616;
  • 17) 0,481 547 247 616 × 2 = 0 + 0,963 094 495 232;
  • 18) 0,963 094 495 232 × 2 = 1 + 0,926 188 990 464;
  • 19) 0,926 188 990 464 × 2 = 1 + 0,852 377 980 928;
  • 20) 0,852 377 980 928 × 2 = 1 + 0,704 755 961 856;
  • 21) 0,704 755 961 856 × 2 = 1 + 0,409 511 923 712;
  • 22) 0,409 511 923 712 × 2 = 0 + 0,819 023 847 424;
  • 23) 0,819 023 847 424 × 2 = 1 + 0,638 047 694 848;
  • 24) 0,638 047 694 848 × 2 = 1 + 0,276 095 389 696;
  • 25) 0,276 095 389 696 × 2 = 0 + 0,552 190 779 392;
  • 26) 0,552 190 779 392 × 2 = 1 + 0,104 381 558 784;
  • 27) 0,104 381 558 784 × 2 = 0 + 0,208 763 117 568;
  • 28) 0,208 763 117 568 × 2 = 0 + 0,417 526 235 136;
  • 29) 0,417 526 235 136 × 2 = 0 + 0,835 052 470 272;
  • 30) 0,835 052 470 272 × 2 = 1 + 0,670 104 940 544;
  • 31) 0,670 104 940 544 × 2 = 1 + 0,340 209 881 088;
  • 32) 0,340 209 881 088 × 2 = 0 + 0,680 419 762 176;
  • 33) 0,680 419 762 176 × 2 = 1 + 0,360 839 524 352;
  • 34) 0,360 839 524 352 × 2 = 0 + 0,721 679 048 704;
  • 35) 0,721 679 048 704 × 2 = 1 + 0,443 358 097 408;
  • 36) 0,443 358 097 408 × 2 = 0 + 0,886 716 194 816;
  • 37) 0,886 716 194 816 × 2 = 1 + 0,773 432 389 632;
  • 38) 0,773 432 389 632 × 2 = 1 + 0,546 864 779 264;
  • 39) 0,546 864 779 264 × 2 = 1 + 0,093 729 558 528;
  • 40) 0,093 729 558 528 × 2 = 0 + 0,187 459 117 056;
  • 41) 0,187 459 117 056 × 2 = 0 + 0,374 918 234 112;
  • 42) 0,374 918 234 112 × 2 = 0 + 0,749 836 468 224;
  • 43) 0,749 836 468 224 × 2 = 1 + 0,499 672 936 448;
  • 44) 0,499 672 936 448 × 2 = 0 + 0,999 345 872 896;
  • 45) 0,999 345 872 896 × 2 = 1 + 0,998 691 745 792;
  • 46) 0,998 691 745 792 × 2 = 1 + 0,997 383 491 584;
  • 47) 0,997 383 491 584 × 2 = 1 + 0,994 766 983 168;
  • 48) 0,994 766 983 168 × 2 = 1 + 0,989 533 966 336;
  • 49) 0,989 533 966 336 × 2 = 1 + 0,979 067 932 672;
  • 50) 0,979 067 932 672 × 2 = 1 + 0,958 135 865 344;
  • 51) 0,958 135 865 344 × 2 = 1 + 0,916 271 730 688;
  • 52) 0,916 271 730 688 × 2 = 1 + 0,832 543 461 376;
  • 53) 0,832 543 461 376 × 2 = 1 + 0,665 086 922 752;
  • 54) 0,665 086 922 752 × 2 = 1 + 0,330 173 845 504;
  • 55) 0,330 173 845 504 × 2 = 0 + 0,660 347 691 008;
  • 56) 0,660 347 691 008 × 2 = 1 + 0,320 695 382 016;
  • 57) 0,320 695 382 016 × 2 = 0 + 0,641 390 764 032;
  • 58) 0,641 390 764 032 × 2 = 1 + 0,282 781 528 064;
  • 59) 0,282 781 528 064 × 2 = 0 + 0,565 563 056 128;
  • 60) 0,565 563 056 128 × 2 = 1 + 0,131 126 112 256;
  • 61) 0,131 126 112 256 × 2 = 0 + 0,262 252 224 512;
  • 62) 0,262 252 224 512 × 2 = 0 + 0,524 504 449 024;
  • 63) 0,524 504 449 024 × 2 = 1 + 0,049 008 898 048;
  • 64) 0,049 008 898 048 × 2 = 0 + 0,098 017 796 096;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 031(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 031(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 031(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010


Numărul zecimal -0,000 282 006 031 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 1010 1110 0010 1111 1111 1101 0101 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 099 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100