-0,000 282 006 051 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 051(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 051(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 051| = 0,000 282 006 051


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 051.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 051 × 2 = 0 + 0,000 564 012 102;
  • 2) 0,000 564 012 102 × 2 = 0 + 0,001 128 024 204;
  • 3) 0,001 128 024 204 × 2 = 0 + 0,002 256 048 408;
  • 4) 0,002 256 048 408 × 2 = 0 + 0,004 512 096 816;
  • 5) 0,004 512 096 816 × 2 = 0 + 0,009 024 193 632;
  • 6) 0,009 024 193 632 × 2 = 0 + 0,018 048 387 264;
  • 7) 0,018 048 387 264 × 2 = 0 + 0,036 096 774 528;
  • 8) 0,036 096 774 528 × 2 = 0 + 0,072 193 549 056;
  • 9) 0,072 193 549 056 × 2 = 0 + 0,144 387 098 112;
  • 10) 0,144 387 098 112 × 2 = 0 + 0,288 774 196 224;
  • 11) 0,288 774 196 224 × 2 = 0 + 0,577 548 392 448;
  • 12) 0,577 548 392 448 × 2 = 1 + 0,155 096 784 896;
  • 13) 0,155 096 784 896 × 2 = 0 + 0,310 193 569 792;
  • 14) 0,310 193 569 792 × 2 = 0 + 0,620 387 139 584;
  • 15) 0,620 387 139 584 × 2 = 1 + 0,240 774 279 168;
  • 16) 0,240 774 279 168 × 2 = 0 + 0,481 548 558 336;
  • 17) 0,481 548 558 336 × 2 = 0 + 0,963 097 116 672;
  • 18) 0,963 097 116 672 × 2 = 1 + 0,926 194 233 344;
  • 19) 0,926 194 233 344 × 2 = 1 + 0,852 388 466 688;
  • 20) 0,852 388 466 688 × 2 = 1 + 0,704 776 933 376;
  • 21) 0,704 776 933 376 × 2 = 1 + 0,409 553 866 752;
  • 22) 0,409 553 866 752 × 2 = 0 + 0,819 107 733 504;
  • 23) 0,819 107 733 504 × 2 = 1 + 0,638 215 467 008;
  • 24) 0,638 215 467 008 × 2 = 1 + 0,276 430 934 016;
  • 25) 0,276 430 934 016 × 2 = 0 + 0,552 861 868 032;
  • 26) 0,552 861 868 032 × 2 = 1 + 0,105 723 736 064;
  • 27) 0,105 723 736 064 × 2 = 0 + 0,211 447 472 128;
  • 28) 0,211 447 472 128 × 2 = 0 + 0,422 894 944 256;
  • 29) 0,422 894 944 256 × 2 = 0 + 0,845 789 888 512;
  • 30) 0,845 789 888 512 × 2 = 1 + 0,691 579 777 024;
  • 31) 0,691 579 777 024 × 2 = 1 + 0,383 159 554 048;
  • 32) 0,383 159 554 048 × 2 = 0 + 0,766 319 108 096;
  • 33) 0,766 319 108 096 × 2 = 1 + 0,532 638 216 192;
  • 34) 0,532 638 216 192 × 2 = 1 + 0,065 276 432 384;
  • 35) 0,065 276 432 384 × 2 = 0 + 0,130 552 864 768;
  • 36) 0,130 552 864 768 × 2 = 0 + 0,261 105 729 536;
  • 37) 0,261 105 729 536 × 2 = 0 + 0,522 211 459 072;
  • 38) 0,522 211 459 072 × 2 = 1 + 0,044 422 918 144;
  • 39) 0,044 422 918 144 × 2 = 0 + 0,088 845 836 288;
  • 40) 0,088 845 836 288 × 2 = 0 + 0,177 691 672 576;
  • 41) 0,177 691 672 576 × 2 = 0 + 0,355 383 345 152;
  • 42) 0,355 383 345 152 × 2 = 0 + 0,710 766 690 304;
  • 43) 0,710 766 690 304 × 2 = 1 + 0,421 533 380 608;
  • 44) 0,421 533 380 608 × 2 = 0 + 0,843 066 761 216;
  • 45) 0,843 066 761 216 × 2 = 1 + 0,686 133 522 432;
  • 46) 0,686 133 522 432 × 2 = 1 + 0,372 267 044 864;
  • 47) 0,372 267 044 864 × 2 = 0 + 0,744 534 089 728;
  • 48) 0,744 534 089 728 × 2 = 1 + 0,489 068 179 456;
  • 49) 0,489 068 179 456 × 2 = 0 + 0,978 136 358 912;
  • 50) 0,978 136 358 912 × 2 = 1 + 0,956 272 717 824;
  • 51) 0,956 272 717 824 × 2 = 1 + 0,912 545 435 648;
  • 52) 0,912 545 435 648 × 2 = 1 + 0,825 090 871 296;
  • 53) 0,825 090 871 296 × 2 = 1 + 0,650 181 742 592;
  • 54) 0,650 181 742 592 × 2 = 1 + 0,300 363 485 184;
  • 55) 0,300 363 485 184 × 2 = 0 + 0,600 726 970 368;
  • 56) 0,600 726 970 368 × 2 = 1 + 0,201 453 940 736;
  • 57) 0,201 453 940 736 × 2 = 0 + 0,402 907 881 472;
  • 58) 0,402 907 881 472 × 2 = 0 + 0,805 815 762 944;
  • 59) 0,805 815 762 944 × 2 = 1 + 0,611 631 525 888;
  • 60) 0,611 631 525 888 × 2 = 1 + 0,223 263 051 776;
  • 61) 0,223 263 051 776 × 2 = 0 + 0,446 526 103 552;
  • 62) 0,446 526 103 552 × 2 = 0 + 0,893 052 207 104;
  • 63) 0,893 052 207 104 × 2 = 1 + 0,786 104 414 208;
  • 64) 0,786 104 414 208 × 2 = 1 + 0,572 208 828 416;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 051(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 051(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 051(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011


Numărul zecimal -0,000 282 006 051 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 1100 0100 0010 1101 0111 1101 0011 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 115 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100