-0,000 282 006 081 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 081(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 081(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 081| = 0,000 282 006 081


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 081.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 081 × 2 = 0 + 0,000 564 012 162;
  • 2) 0,000 564 012 162 × 2 = 0 + 0,001 128 024 324;
  • 3) 0,001 128 024 324 × 2 = 0 + 0,002 256 048 648;
  • 4) 0,002 256 048 648 × 2 = 0 + 0,004 512 097 296;
  • 5) 0,004 512 097 296 × 2 = 0 + 0,009 024 194 592;
  • 6) 0,009 024 194 592 × 2 = 0 + 0,018 048 389 184;
  • 7) 0,018 048 389 184 × 2 = 0 + 0,036 096 778 368;
  • 8) 0,036 096 778 368 × 2 = 0 + 0,072 193 556 736;
  • 9) 0,072 193 556 736 × 2 = 0 + 0,144 387 113 472;
  • 10) 0,144 387 113 472 × 2 = 0 + 0,288 774 226 944;
  • 11) 0,288 774 226 944 × 2 = 0 + 0,577 548 453 888;
  • 12) 0,577 548 453 888 × 2 = 1 + 0,155 096 907 776;
  • 13) 0,155 096 907 776 × 2 = 0 + 0,310 193 815 552;
  • 14) 0,310 193 815 552 × 2 = 0 + 0,620 387 631 104;
  • 15) 0,620 387 631 104 × 2 = 1 + 0,240 775 262 208;
  • 16) 0,240 775 262 208 × 2 = 0 + 0,481 550 524 416;
  • 17) 0,481 550 524 416 × 2 = 0 + 0,963 101 048 832;
  • 18) 0,963 101 048 832 × 2 = 1 + 0,926 202 097 664;
  • 19) 0,926 202 097 664 × 2 = 1 + 0,852 404 195 328;
  • 20) 0,852 404 195 328 × 2 = 1 + 0,704 808 390 656;
  • 21) 0,704 808 390 656 × 2 = 1 + 0,409 616 781 312;
  • 22) 0,409 616 781 312 × 2 = 0 + 0,819 233 562 624;
  • 23) 0,819 233 562 624 × 2 = 1 + 0,638 467 125 248;
  • 24) 0,638 467 125 248 × 2 = 1 + 0,276 934 250 496;
  • 25) 0,276 934 250 496 × 2 = 0 + 0,553 868 500 992;
  • 26) 0,553 868 500 992 × 2 = 1 + 0,107 737 001 984;
  • 27) 0,107 737 001 984 × 2 = 0 + 0,215 474 003 968;
  • 28) 0,215 474 003 968 × 2 = 0 + 0,430 948 007 936;
  • 29) 0,430 948 007 936 × 2 = 0 + 0,861 896 015 872;
  • 30) 0,861 896 015 872 × 2 = 1 + 0,723 792 031 744;
  • 31) 0,723 792 031 744 × 2 = 1 + 0,447 584 063 488;
  • 32) 0,447 584 063 488 × 2 = 0 + 0,895 168 126 976;
  • 33) 0,895 168 126 976 × 2 = 1 + 0,790 336 253 952;
  • 34) 0,790 336 253 952 × 2 = 1 + 0,580 672 507 904;
  • 35) 0,580 672 507 904 × 2 = 1 + 0,161 345 015 808;
  • 36) 0,161 345 015 808 × 2 = 0 + 0,322 690 031 616;
  • 37) 0,322 690 031 616 × 2 = 0 + 0,645 380 063 232;
  • 38) 0,645 380 063 232 × 2 = 1 + 0,290 760 126 464;
  • 39) 0,290 760 126 464 × 2 = 0 + 0,581 520 252 928;
  • 40) 0,581 520 252 928 × 2 = 1 + 0,163 040 505 856;
  • 41) 0,163 040 505 856 × 2 = 0 + 0,326 081 011 712;
  • 42) 0,326 081 011 712 × 2 = 0 + 0,652 162 023 424;
  • 43) 0,652 162 023 424 × 2 = 1 + 0,304 324 046 848;
  • 44) 0,304 324 046 848 × 2 = 0 + 0,608 648 093 696;
  • 45) 0,608 648 093 696 × 2 = 1 + 0,217 296 187 392;
  • 46) 0,217 296 187 392 × 2 = 0 + 0,434 592 374 784;
  • 47) 0,434 592 374 784 × 2 = 0 + 0,869 184 749 568;
  • 48) 0,869 184 749 568 × 2 = 1 + 0,738 369 499 136;
  • 49) 0,738 369 499 136 × 2 = 1 + 0,476 738 998 272;
  • 50) 0,476 738 998 272 × 2 = 0 + 0,953 477 996 544;
  • 51) 0,953 477 996 544 × 2 = 1 + 0,906 955 993 088;
  • 52) 0,906 955 993 088 × 2 = 1 + 0,813 911 986 176;
  • 53) 0,813 911 986 176 × 2 = 1 + 0,627 823 972 352;
  • 54) 0,627 823 972 352 × 2 = 1 + 0,255 647 944 704;
  • 55) 0,255 647 944 704 × 2 = 0 + 0,511 295 889 408;
  • 56) 0,511 295 889 408 × 2 = 1 + 0,022 591 778 816;
  • 57) 0,022 591 778 816 × 2 = 0 + 0,045 183 557 632;
  • 58) 0,045 183 557 632 × 2 = 0 + 0,090 367 115 264;
  • 59) 0,090 367 115 264 × 2 = 0 + 0,180 734 230 528;
  • 60) 0,180 734 230 528 × 2 = 0 + 0,361 468 461 056;
  • 61) 0,361 468 461 056 × 2 = 0 + 0,722 936 922 112;
  • 62) 0,722 936 922 112 × 2 = 1 + 0,445 873 844 224;
  • 63) 0,445 873 844 224 × 2 = 0 + 0,891 747 688 448;
  • 64) 0,891 747 688 448 × 2 = 1 + 0,783 495 376 896;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 081(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 081(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 081(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 006 081 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 1110 0101 0010 1001 1011 1101 0000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 084 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100