-0,000 282 006 14 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 14(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 14(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 14| = 0,000 282 006 14


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 14.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 14 × 2 = 0 + 0,000 564 012 28;
  • 2) 0,000 564 012 28 × 2 = 0 + 0,001 128 024 56;
  • 3) 0,001 128 024 56 × 2 = 0 + 0,002 256 049 12;
  • 4) 0,002 256 049 12 × 2 = 0 + 0,004 512 098 24;
  • 5) 0,004 512 098 24 × 2 = 0 + 0,009 024 196 48;
  • 6) 0,009 024 196 48 × 2 = 0 + 0,018 048 392 96;
  • 7) 0,018 048 392 96 × 2 = 0 + 0,036 096 785 92;
  • 8) 0,036 096 785 92 × 2 = 0 + 0,072 193 571 84;
  • 9) 0,072 193 571 84 × 2 = 0 + 0,144 387 143 68;
  • 10) 0,144 387 143 68 × 2 = 0 + 0,288 774 287 36;
  • 11) 0,288 774 287 36 × 2 = 0 + 0,577 548 574 72;
  • 12) 0,577 548 574 72 × 2 = 1 + 0,155 097 149 44;
  • 13) 0,155 097 149 44 × 2 = 0 + 0,310 194 298 88;
  • 14) 0,310 194 298 88 × 2 = 0 + 0,620 388 597 76;
  • 15) 0,620 388 597 76 × 2 = 1 + 0,240 777 195 52;
  • 16) 0,240 777 195 52 × 2 = 0 + 0,481 554 391 04;
  • 17) 0,481 554 391 04 × 2 = 0 + 0,963 108 782 08;
  • 18) 0,963 108 782 08 × 2 = 1 + 0,926 217 564 16;
  • 19) 0,926 217 564 16 × 2 = 1 + 0,852 435 128 32;
  • 20) 0,852 435 128 32 × 2 = 1 + 0,704 870 256 64;
  • 21) 0,704 870 256 64 × 2 = 1 + 0,409 740 513 28;
  • 22) 0,409 740 513 28 × 2 = 0 + 0,819 481 026 56;
  • 23) 0,819 481 026 56 × 2 = 1 + 0,638 962 053 12;
  • 24) 0,638 962 053 12 × 2 = 1 + 0,277 924 106 24;
  • 25) 0,277 924 106 24 × 2 = 0 + 0,555 848 212 48;
  • 26) 0,555 848 212 48 × 2 = 1 + 0,111 696 424 96;
  • 27) 0,111 696 424 96 × 2 = 0 + 0,223 392 849 92;
  • 28) 0,223 392 849 92 × 2 = 0 + 0,446 785 699 84;
  • 29) 0,446 785 699 84 × 2 = 0 + 0,893 571 399 68;
  • 30) 0,893 571 399 68 × 2 = 1 + 0,787 142 799 36;
  • 31) 0,787 142 799 36 × 2 = 1 + 0,574 285 598 72;
  • 32) 0,574 285 598 72 × 2 = 1 + 0,148 571 197 44;
  • 33) 0,148 571 197 44 × 2 = 0 + 0,297 142 394 88;
  • 34) 0,297 142 394 88 × 2 = 0 + 0,594 284 789 76;
  • 35) 0,594 284 789 76 × 2 = 1 + 0,188 569 579 52;
  • 36) 0,188 569 579 52 × 2 = 0 + 0,377 139 159 04;
  • 37) 0,377 139 159 04 × 2 = 0 + 0,754 278 318 08;
  • 38) 0,754 278 318 08 × 2 = 1 + 0,508 556 636 16;
  • 39) 0,508 556 636 16 × 2 = 1 + 0,017 113 272 32;
  • 40) 0,017 113 272 32 × 2 = 0 + 0,034 226 544 64;
  • 41) 0,034 226 544 64 × 2 = 0 + 0,068 453 089 28;
  • 42) 0,068 453 089 28 × 2 = 0 + 0,136 906 178 56;
  • 43) 0,136 906 178 56 × 2 = 0 + 0,273 812 357 12;
  • 44) 0,273 812 357 12 × 2 = 0 + 0,547 624 714 24;
  • 45) 0,547 624 714 24 × 2 = 1 + 0,095 249 428 48;
  • 46) 0,095 249 428 48 × 2 = 0 + 0,190 498 856 96;
  • 47) 0,190 498 856 96 × 2 = 0 + 0,380 997 713 92;
  • 48) 0,380 997 713 92 × 2 = 0 + 0,761 995 427 84;
  • 49) 0,761 995 427 84 × 2 = 1 + 0,523 990 855 68;
  • 50) 0,523 990 855 68 × 2 = 1 + 0,047 981 711 36;
  • 51) 0,047 981 711 36 × 2 = 0 + 0,095 963 422 72;
  • 52) 0,095 963 422 72 × 2 = 0 + 0,191 926 845 44;
  • 53) 0,191 926 845 44 × 2 = 0 + 0,383 853 690 88;
  • 54) 0,383 853 690 88 × 2 = 0 + 0,767 707 381 76;
  • 55) 0,767 707 381 76 × 2 = 1 + 0,535 414 763 52;
  • 56) 0,535 414 763 52 × 2 = 1 + 0,070 829 527 04;
  • 57) 0,070 829 527 04 × 2 = 0 + 0,141 659 054 08;
  • 58) 0,141 659 054 08 × 2 = 0 + 0,283 318 108 16;
  • 59) 0,283 318 108 16 × 2 = 0 + 0,566 636 216 32;
  • 60) 0,566 636 216 32 × 2 = 1 + 0,133 272 432 64;
  • 61) 0,133 272 432 64 × 2 = 0 + 0,266 544 865 28;
  • 62) 0,266 544 865 28 × 2 = 0 + 0,533 089 730 56;
  • 63) 0,533 089 730 56 × 2 = 1 + 0,066 179 461 12;
  • 64) 0,066 179 461 12 × 2 = 0 + 0,132 358 922 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 14(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 14(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 14(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010 =

0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010


Numărul zecimal -0,000 282 006 14 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 0010 0110 0000 1000 1100 0011 0001 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 85 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100