-0,000 282 006 146 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 146(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 146(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 146| = 0,000 282 006 146


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 146.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 146 × 2 = 0 + 0,000 564 012 292;
  • 2) 0,000 564 012 292 × 2 = 0 + 0,001 128 024 584;
  • 3) 0,001 128 024 584 × 2 = 0 + 0,002 256 049 168;
  • 4) 0,002 256 049 168 × 2 = 0 + 0,004 512 098 336;
  • 5) 0,004 512 098 336 × 2 = 0 + 0,009 024 196 672;
  • 6) 0,009 024 196 672 × 2 = 0 + 0,018 048 393 344;
  • 7) 0,018 048 393 344 × 2 = 0 + 0,036 096 786 688;
  • 8) 0,036 096 786 688 × 2 = 0 + 0,072 193 573 376;
  • 9) 0,072 193 573 376 × 2 = 0 + 0,144 387 146 752;
  • 10) 0,144 387 146 752 × 2 = 0 + 0,288 774 293 504;
  • 11) 0,288 774 293 504 × 2 = 0 + 0,577 548 587 008;
  • 12) 0,577 548 587 008 × 2 = 1 + 0,155 097 174 016;
  • 13) 0,155 097 174 016 × 2 = 0 + 0,310 194 348 032;
  • 14) 0,310 194 348 032 × 2 = 0 + 0,620 388 696 064;
  • 15) 0,620 388 696 064 × 2 = 1 + 0,240 777 392 128;
  • 16) 0,240 777 392 128 × 2 = 0 + 0,481 554 784 256;
  • 17) 0,481 554 784 256 × 2 = 0 + 0,963 109 568 512;
  • 18) 0,963 109 568 512 × 2 = 1 + 0,926 219 137 024;
  • 19) 0,926 219 137 024 × 2 = 1 + 0,852 438 274 048;
  • 20) 0,852 438 274 048 × 2 = 1 + 0,704 876 548 096;
  • 21) 0,704 876 548 096 × 2 = 1 + 0,409 753 096 192;
  • 22) 0,409 753 096 192 × 2 = 0 + 0,819 506 192 384;
  • 23) 0,819 506 192 384 × 2 = 1 + 0,639 012 384 768;
  • 24) 0,639 012 384 768 × 2 = 1 + 0,278 024 769 536;
  • 25) 0,278 024 769 536 × 2 = 0 + 0,556 049 539 072;
  • 26) 0,556 049 539 072 × 2 = 1 + 0,112 099 078 144;
  • 27) 0,112 099 078 144 × 2 = 0 + 0,224 198 156 288;
  • 28) 0,224 198 156 288 × 2 = 0 + 0,448 396 312 576;
  • 29) 0,448 396 312 576 × 2 = 0 + 0,896 792 625 152;
  • 30) 0,896 792 625 152 × 2 = 1 + 0,793 585 250 304;
  • 31) 0,793 585 250 304 × 2 = 1 + 0,587 170 500 608;
  • 32) 0,587 170 500 608 × 2 = 1 + 0,174 341 001 216;
  • 33) 0,174 341 001 216 × 2 = 0 + 0,348 682 002 432;
  • 34) 0,348 682 002 432 × 2 = 0 + 0,697 364 004 864;
  • 35) 0,697 364 004 864 × 2 = 1 + 0,394 728 009 728;
  • 36) 0,394 728 009 728 × 2 = 0 + 0,789 456 019 456;
  • 37) 0,789 456 019 456 × 2 = 1 + 0,578 912 038 912;
  • 38) 0,578 912 038 912 × 2 = 1 + 0,157 824 077 824;
  • 39) 0,157 824 077 824 × 2 = 0 + 0,315 648 155 648;
  • 40) 0,315 648 155 648 × 2 = 0 + 0,631 296 311 296;
  • 41) 0,631 296 311 296 × 2 = 1 + 0,262 592 622 592;
  • 42) 0,262 592 622 592 × 2 = 0 + 0,525 185 245 184;
  • 43) 0,525 185 245 184 × 2 = 1 + 0,050 370 490 368;
  • 44) 0,050 370 490 368 × 2 = 0 + 0,100 740 980 736;
  • 45) 0,100 740 980 736 × 2 = 0 + 0,201 481 961 472;
  • 46) 0,201 481 961 472 × 2 = 0 + 0,402 963 922 944;
  • 47) 0,402 963 922 944 × 2 = 0 + 0,805 927 845 888;
  • 48) 0,805 927 845 888 × 2 = 1 + 0,611 855 691 776;
  • 49) 0,611 855 691 776 × 2 = 1 + 0,223 711 383 552;
  • 50) 0,223 711 383 552 × 2 = 0 + 0,447 422 767 104;
  • 51) 0,447 422 767 104 × 2 = 0 + 0,894 845 534 208;
  • 52) 0,894 845 534 208 × 2 = 1 + 0,789 691 068 416;
  • 53) 0,789 691 068 416 × 2 = 1 + 0,579 382 136 832;
  • 54) 0,579 382 136 832 × 2 = 1 + 0,158 764 273 664;
  • 55) 0,158 764 273 664 × 2 = 0 + 0,317 528 547 328;
  • 56) 0,317 528 547 328 × 2 = 0 + 0,635 057 094 656;
  • 57) 0,635 057 094 656 × 2 = 1 + 0,270 114 189 312;
  • 58) 0,270 114 189 312 × 2 = 0 + 0,540 228 378 624;
  • 59) 0,540 228 378 624 × 2 = 1 + 0,080 456 757 248;
  • 60) 0,080 456 757 248 × 2 = 0 + 0,160 913 514 496;
  • 61) 0,160 913 514 496 × 2 = 0 + 0,321 827 028 992;
  • 62) 0,321 827 028 992 × 2 = 0 + 0,643 654 057 984;
  • 63) 0,643 654 057 984 × 2 = 1 + 0,287 308 115 968;
  • 64) 0,287 308 115 968 × 2 = 0 + 0,574 616 231 936;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 146(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 146(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 146(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 006 146 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 0010 1100 1010 0001 1001 1100 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100