-0,000 282 006 177 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 177(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 177(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 177| = 0,000 282 006 177


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 177.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 177 × 2 = 0 + 0,000 564 012 354;
  • 2) 0,000 564 012 354 × 2 = 0 + 0,001 128 024 708;
  • 3) 0,001 128 024 708 × 2 = 0 + 0,002 256 049 416;
  • 4) 0,002 256 049 416 × 2 = 0 + 0,004 512 098 832;
  • 5) 0,004 512 098 832 × 2 = 0 + 0,009 024 197 664;
  • 6) 0,009 024 197 664 × 2 = 0 + 0,018 048 395 328;
  • 7) 0,018 048 395 328 × 2 = 0 + 0,036 096 790 656;
  • 8) 0,036 096 790 656 × 2 = 0 + 0,072 193 581 312;
  • 9) 0,072 193 581 312 × 2 = 0 + 0,144 387 162 624;
  • 10) 0,144 387 162 624 × 2 = 0 + 0,288 774 325 248;
  • 11) 0,288 774 325 248 × 2 = 0 + 0,577 548 650 496;
  • 12) 0,577 548 650 496 × 2 = 1 + 0,155 097 300 992;
  • 13) 0,155 097 300 992 × 2 = 0 + 0,310 194 601 984;
  • 14) 0,310 194 601 984 × 2 = 0 + 0,620 389 203 968;
  • 15) 0,620 389 203 968 × 2 = 1 + 0,240 778 407 936;
  • 16) 0,240 778 407 936 × 2 = 0 + 0,481 556 815 872;
  • 17) 0,481 556 815 872 × 2 = 0 + 0,963 113 631 744;
  • 18) 0,963 113 631 744 × 2 = 1 + 0,926 227 263 488;
  • 19) 0,926 227 263 488 × 2 = 1 + 0,852 454 526 976;
  • 20) 0,852 454 526 976 × 2 = 1 + 0,704 909 053 952;
  • 21) 0,704 909 053 952 × 2 = 1 + 0,409 818 107 904;
  • 22) 0,409 818 107 904 × 2 = 0 + 0,819 636 215 808;
  • 23) 0,819 636 215 808 × 2 = 1 + 0,639 272 431 616;
  • 24) 0,639 272 431 616 × 2 = 1 + 0,278 544 863 232;
  • 25) 0,278 544 863 232 × 2 = 0 + 0,557 089 726 464;
  • 26) 0,557 089 726 464 × 2 = 1 + 0,114 179 452 928;
  • 27) 0,114 179 452 928 × 2 = 0 + 0,228 358 905 856;
  • 28) 0,228 358 905 856 × 2 = 0 + 0,456 717 811 712;
  • 29) 0,456 717 811 712 × 2 = 0 + 0,913 435 623 424;
  • 30) 0,913 435 623 424 × 2 = 1 + 0,826 871 246 848;
  • 31) 0,826 871 246 848 × 2 = 1 + 0,653 742 493 696;
  • 32) 0,653 742 493 696 × 2 = 1 + 0,307 484 987 392;
  • 33) 0,307 484 987 392 × 2 = 0 + 0,614 969 974 784;
  • 34) 0,614 969 974 784 × 2 = 1 + 0,229 939 949 568;
  • 35) 0,229 939 949 568 × 2 = 0 + 0,459 879 899 136;
  • 36) 0,459 879 899 136 × 2 = 0 + 0,919 759 798 272;
  • 37) 0,919 759 798 272 × 2 = 1 + 0,839 519 596 544;
  • 38) 0,839 519 596 544 × 2 = 1 + 0,679 039 193 088;
  • 39) 0,679 039 193 088 × 2 = 1 + 0,358 078 386 176;
  • 40) 0,358 078 386 176 × 2 = 0 + 0,716 156 772 352;
  • 41) 0,716 156 772 352 × 2 = 1 + 0,432 313 544 704;
  • 42) 0,432 313 544 704 × 2 = 0 + 0,864 627 089 408;
  • 43) 0,864 627 089 408 × 2 = 1 + 0,729 254 178 816;
  • 44) 0,729 254 178 816 × 2 = 1 + 0,458 508 357 632;
  • 45) 0,458 508 357 632 × 2 = 0 + 0,917 016 715 264;
  • 46) 0,917 016 715 264 × 2 = 1 + 0,834 033 430 528;
  • 47) 0,834 033 430 528 × 2 = 1 + 0,668 066 861 056;
  • 48) 0,668 066 861 056 × 2 = 1 + 0,336 133 722 112;
  • 49) 0,336 133 722 112 × 2 = 0 + 0,672 267 444 224;
  • 50) 0,672 267 444 224 × 2 = 1 + 0,344 534 888 448;
  • 51) 0,344 534 888 448 × 2 = 0 + 0,689 069 776 896;
  • 52) 0,689 069 776 896 × 2 = 1 + 0,378 139 553 792;
  • 53) 0,378 139 553 792 × 2 = 0 + 0,756 279 107 584;
  • 54) 0,756 279 107 584 × 2 = 1 + 0,512 558 215 168;
  • 55) 0,512 558 215 168 × 2 = 1 + 0,025 116 430 336;
  • 56) 0,025 116 430 336 × 2 = 0 + 0,050 232 860 672;
  • 57) 0,050 232 860 672 × 2 = 0 + 0,100 465 721 344;
  • 58) 0,100 465 721 344 × 2 = 0 + 0,200 931 442 688;
  • 59) 0,200 931 442 688 × 2 = 0 + 0,401 862 885 376;
  • 60) 0,401 862 885 376 × 2 = 0 + 0,803 725 770 752;
  • 61) 0,803 725 770 752 × 2 = 1 + 0,607 451 541 504;
  • 62) 0,607 451 541 504 × 2 = 1 + 0,214 903 083 008;
  • 63) 0,214 903 083 008 × 2 = 0 + 0,429 806 166 016;
  • 64) 0,429 806 166 016 × 2 = 0 + 0,859 612 332 032;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 177(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 177(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 177(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100 =

0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100


Numărul zecimal -0,000 282 006 177 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 0100 1110 1011 0111 0101 0110 0000 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 268 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100