-0,000 282 006 183 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 183(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 183(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 183| = 0,000 282 006 183


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 183.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 183 × 2 = 0 + 0,000 564 012 366;
  • 2) 0,000 564 012 366 × 2 = 0 + 0,001 128 024 732;
  • 3) 0,001 128 024 732 × 2 = 0 + 0,002 256 049 464;
  • 4) 0,002 256 049 464 × 2 = 0 + 0,004 512 098 928;
  • 5) 0,004 512 098 928 × 2 = 0 + 0,009 024 197 856;
  • 6) 0,009 024 197 856 × 2 = 0 + 0,018 048 395 712;
  • 7) 0,018 048 395 712 × 2 = 0 + 0,036 096 791 424;
  • 8) 0,036 096 791 424 × 2 = 0 + 0,072 193 582 848;
  • 9) 0,072 193 582 848 × 2 = 0 + 0,144 387 165 696;
  • 10) 0,144 387 165 696 × 2 = 0 + 0,288 774 331 392;
  • 11) 0,288 774 331 392 × 2 = 0 + 0,577 548 662 784;
  • 12) 0,577 548 662 784 × 2 = 1 + 0,155 097 325 568;
  • 13) 0,155 097 325 568 × 2 = 0 + 0,310 194 651 136;
  • 14) 0,310 194 651 136 × 2 = 0 + 0,620 389 302 272;
  • 15) 0,620 389 302 272 × 2 = 1 + 0,240 778 604 544;
  • 16) 0,240 778 604 544 × 2 = 0 + 0,481 557 209 088;
  • 17) 0,481 557 209 088 × 2 = 0 + 0,963 114 418 176;
  • 18) 0,963 114 418 176 × 2 = 1 + 0,926 228 836 352;
  • 19) 0,926 228 836 352 × 2 = 1 + 0,852 457 672 704;
  • 20) 0,852 457 672 704 × 2 = 1 + 0,704 915 345 408;
  • 21) 0,704 915 345 408 × 2 = 1 + 0,409 830 690 816;
  • 22) 0,409 830 690 816 × 2 = 0 + 0,819 661 381 632;
  • 23) 0,819 661 381 632 × 2 = 1 + 0,639 322 763 264;
  • 24) 0,639 322 763 264 × 2 = 1 + 0,278 645 526 528;
  • 25) 0,278 645 526 528 × 2 = 0 + 0,557 291 053 056;
  • 26) 0,557 291 053 056 × 2 = 1 + 0,114 582 106 112;
  • 27) 0,114 582 106 112 × 2 = 0 + 0,229 164 212 224;
  • 28) 0,229 164 212 224 × 2 = 0 + 0,458 328 424 448;
  • 29) 0,458 328 424 448 × 2 = 0 + 0,916 656 848 896;
  • 30) 0,916 656 848 896 × 2 = 1 + 0,833 313 697 792;
  • 31) 0,833 313 697 792 × 2 = 1 + 0,666 627 395 584;
  • 32) 0,666 627 395 584 × 2 = 1 + 0,333 254 791 168;
  • 33) 0,333 254 791 168 × 2 = 0 + 0,666 509 582 336;
  • 34) 0,666 509 582 336 × 2 = 1 + 0,333 019 164 672;
  • 35) 0,333 019 164 672 × 2 = 0 + 0,666 038 329 344;
  • 36) 0,666 038 329 344 × 2 = 1 + 0,332 076 658 688;
  • 37) 0,332 076 658 688 × 2 = 0 + 0,664 153 317 376;
  • 38) 0,664 153 317 376 × 2 = 1 + 0,328 306 634 752;
  • 39) 0,328 306 634 752 × 2 = 0 + 0,656 613 269 504;
  • 40) 0,656 613 269 504 × 2 = 1 + 0,313 226 539 008;
  • 41) 0,313 226 539 008 × 2 = 0 + 0,626 453 078 016;
  • 42) 0,626 453 078 016 × 2 = 1 + 0,252 906 156 032;
  • 43) 0,252 906 156 032 × 2 = 0 + 0,505 812 312 064;
  • 44) 0,505 812 312 064 × 2 = 1 + 0,011 624 624 128;
  • 45) 0,011 624 624 128 × 2 = 0 + 0,023 249 248 256;
  • 46) 0,023 249 248 256 × 2 = 0 + 0,046 498 496 512;
  • 47) 0,046 498 496 512 × 2 = 0 + 0,092 996 993 024;
  • 48) 0,092 996 993 024 × 2 = 0 + 0,185 993 986 048;
  • 49) 0,185 993 986 048 × 2 = 0 + 0,371 987 972 096;
  • 50) 0,371 987 972 096 × 2 = 0 + 0,743 975 944 192;
  • 51) 0,743 975 944 192 × 2 = 1 + 0,487 951 888 384;
  • 52) 0,487 951 888 384 × 2 = 0 + 0,975 903 776 768;
  • 53) 0,975 903 776 768 × 2 = 1 + 0,951 807 553 536;
  • 54) 0,951 807 553 536 × 2 = 1 + 0,903 615 107 072;
  • 55) 0,903 615 107 072 × 2 = 1 + 0,807 230 214 144;
  • 56) 0,807 230 214 144 × 2 = 1 + 0,614 460 428 288;
  • 57) 0,614 460 428 288 × 2 = 1 + 0,228 920 856 576;
  • 58) 0,228 920 856 576 × 2 = 0 + 0,457 841 713 152;
  • 59) 0,457 841 713 152 × 2 = 0 + 0,915 683 426 304;
  • 60) 0,915 683 426 304 × 2 = 1 + 0,831 366 852 608;
  • 61) 0,831 366 852 608 × 2 = 1 + 0,662 733 705 216;
  • 62) 0,662 733 705 216 × 2 = 1 + 0,325 467 410 432;
  • 63) 0,325 467 410 432 × 2 = 0 + 0,650 934 820 864;
  • 64) 0,650 934 820 864 × 2 = 1 + 0,301 869 641 728;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 183(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 183(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 183(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101 =

0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101


Numărul zecimal -0,000 282 006 183 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 0101 0101 0101 0000 0010 1111 1001 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 282 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100