-0,000 282 006 208 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 208(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 208(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 208| = 0,000 282 006 208


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 208.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 208 × 2 = 0 + 0,000 564 012 416;
  • 2) 0,000 564 012 416 × 2 = 0 + 0,001 128 024 832;
  • 3) 0,001 128 024 832 × 2 = 0 + 0,002 256 049 664;
  • 4) 0,002 256 049 664 × 2 = 0 + 0,004 512 099 328;
  • 5) 0,004 512 099 328 × 2 = 0 + 0,009 024 198 656;
  • 6) 0,009 024 198 656 × 2 = 0 + 0,018 048 397 312;
  • 7) 0,018 048 397 312 × 2 = 0 + 0,036 096 794 624;
  • 8) 0,036 096 794 624 × 2 = 0 + 0,072 193 589 248;
  • 9) 0,072 193 589 248 × 2 = 0 + 0,144 387 178 496;
  • 10) 0,144 387 178 496 × 2 = 0 + 0,288 774 356 992;
  • 11) 0,288 774 356 992 × 2 = 0 + 0,577 548 713 984;
  • 12) 0,577 548 713 984 × 2 = 1 + 0,155 097 427 968;
  • 13) 0,155 097 427 968 × 2 = 0 + 0,310 194 855 936;
  • 14) 0,310 194 855 936 × 2 = 0 + 0,620 389 711 872;
  • 15) 0,620 389 711 872 × 2 = 1 + 0,240 779 423 744;
  • 16) 0,240 779 423 744 × 2 = 0 + 0,481 558 847 488;
  • 17) 0,481 558 847 488 × 2 = 0 + 0,963 117 694 976;
  • 18) 0,963 117 694 976 × 2 = 1 + 0,926 235 389 952;
  • 19) 0,926 235 389 952 × 2 = 1 + 0,852 470 779 904;
  • 20) 0,852 470 779 904 × 2 = 1 + 0,704 941 559 808;
  • 21) 0,704 941 559 808 × 2 = 1 + 0,409 883 119 616;
  • 22) 0,409 883 119 616 × 2 = 0 + 0,819 766 239 232;
  • 23) 0,819 766 239 232 × 2 = 1 + 0,639 532 478 464;
  • 24) 0,639 532 478 464 × 2 = 1 + 0,279 064 956 928;
  • 25) 0,279 064 956 928 × 2 = 0 + 0,558 129 913 856;
  • 26) 0,558 129 913 856 × 2 = 1 + 0,116 259 827 712;
  • 27) 0,116 259 827 712 × 2 = 0 + 0,232 519 655 424;
  • 28) 0,232 519 655 424 × 2 = 0 + 0,465 039 310 848;
  • 29) 0,465 039 310 848 × 2 = 0 + 0,930 078 621 696;
  • 30) 0,930 078 621 696 × 2 = 1 + 0,860 157 243 392;
  • 31) 0,860 157 243 392 × 2 = 1 + 0,720 314 486 784;
  • 32) 0,720 314 486 784 × 2 = 1 + 0,440 628 973 568;
  • 33) 0,440 628 973 568 × 2 = 0 + 0,881 257 947 136;
  • 34) 0,881 257 947 136 × 2 = 1 + 0,762 515 894 272;
  • 35) 0,762 515 894 272 × 2 = 1 + 0,525 031 788 544;
  • 36) 0,525 031 788 544 × 2 = 1 + 0,050 063 577 088;
  • 37) 0,050 063 577 088 × 2 = 0 + 0,100 127 154 176;
  • 38) 0,100 127 154 176 × 2 = 0 + 0,200 254 308 352;
  • 39) 0,200 254 308 352 × 2 = 0 + 0,400 508 616 704;
  • 40) 0,400 508 616 704 × 2 = 0 + 0,801 017 233 408;
  • 41) 0,801 017 233 408 × 2 = 1 + 0,602 034 466 816;
  • 42) 0,602 034 466 816 × 2 = 1 + 0,204 068 933 632;
  • 43) 0,204 068 933 632 × 2 = 0 + 0,408 137 867 264;
  • 44) 0,408 137 867 264 × 2 = 0 + 0,816 275 734 528;
  • 45) 0,816 275 734 528 × 2 = 1 + 0,632 551 469 056;
  • 46) 0,632 551 469 056 × 2 = 1 + 0,265 102 938 112;
  • 47) 0,265 102 938 112 × 2 = 0 + 0,530 205 876 224;
  • 48) 0,530 205 876 224 × 2 = 1 + 0,060 411 752 448;
  • 49) 0,060 411 752 448 × 2 = 0 + 0,120 823 504 896;
  • 50) 0,120 823 504 896 × 2 = 0 + 0,241 647 009 792;
  • 51) 0,241 647 009 792 × 2 = 0 + 0,483 294 019 584;
  • 52) 0,483 294 019 584 × 2 = 0 + 0,966 588 039 168;
  • 53) 0,966 588 039 168 × 2 = 1 + 0,933 176 078 336;
  • 54) 0,933 176 078 336 × 2 = 1 + 0,866 352 156 672;
  • 55) 0,866 352 156 672 × 2 = 1 + 0,732 704 313 344;
  • 56) 0,732 704 313 344 × 2 = 1 + 0,465 408 626 688;
  • 57) 0,465 408 626 688 × 2 = 0 + 0,930 817 253 376;
  • 58) 0,930 817 253 376 × 2 = 1 + 0,861 634 506 752;
  • 59) 0,861 634 506 752 × 2 = 1 + 0,723 269 013 504;
  • 60) 0,723 269 013 504 × 2 = 1 + 0,446 538 027 008;
  • 61) 0,446 538 027 008 × 2 = 0 + 0,893 076 054 016;
  • 62) 0,893 076 054 016 × 2 = 1 + 0,786 152 108 032;
  • 63) 0,786 152 108 032 × 2 = 1 + 0,572 304 216 064;
  • 64) 0,572 304 216 064 × 2 = 1 + 0,144 608 432 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 208(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 208(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 208(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111 =

0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 006 208 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 0111 0000 1100 1101 0000 1111 0111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 235 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100