-0,000 282 006 258 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 258(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 258(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 258| = 0,000 282 006 258


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 258.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 258 × 2 = 0 + 0,000 564 012 516;
  • 2) 0,000 564 012 516 × 2 = 0 + 0,001 128 025 032;
  • 3) 0,001 128 025 032 × 2 = 0 + 0,002 256 050 064;
  • 4) 0,002 256 050 064 × 2 = 0 + 0,004 512 100 128;
  • 5) 0,004 512 100 128 × 2 = 0 + 0,009 024 200 256;
  • 6) 0,009 024 200 256 × 2 = 0 + 0,018 048 400 512;
  • 7) 0,018 048 400 512 × 2 = 0 + 0,036 096 801 024;
  • 8) 0,036 096 801 024 × 2 = 0 + 0,072 193 602 048;
  • 9) 0,072 193 602 048 × 2 = 0 + 0,144 387 204 096;
  • 10) 0,144 387 204 096 × 2 = 0 + 0,288 774 408 192;
  • 11) 0,288 774 408 192 × 2 = 0 + 0,577 548 816 384;
  • 12) 0,577 548 816 384 × 2 = 1 + 0,155 097 632 768;
  • 13) 0,155 097 632 768 × 2 = 0 + 0,310 195 265 536;
  • 14) 0,310 195 265 536 × 2 = 0 + 0,620 390 531 072;
  • 15) 0,620 390 531 072 × 2 = 1 + 0,240 781 062 144;
  • 16) 0,240 781 062 144 × 2 = 0 + 0,481 562 124 288;
  • 17) 0,481 562 124 288 × 2 = 0 + 0,963 124 248 576;
  • 18) 0,963 124 248 576 × 2 = 1 + 0,926 248 497 152;
  • 19) 0,926 248 497 152 × 2 = 1 + 0,852 496 994 304;
  • 20) 0,852 496 994 304 × 2 = 1 + 0,704 993 988 608;
  • 21) 0,704 993 988 608 × 2 = 1 + 0,409 987 977 216;
  • 22) 0,409 987 977 216 × 2 = 0 + 0,819 975 954 432;
  • 23) 0,819 975 954 432 × 2 = 1 + 0,639 951 908 864;
  • 24) 0,639 951 908 864 × 2 = 1 + 0,279 903 817 728;
  • 25) 0,279 903 817 728 × 2 = 0 + 0,559 807 635 456;
  • 26) 0,559 807 635 456 × 2 = 1 + 0,119 615 270 912;
  • 27) 0,119 615 270 912 × 2 = 0 + 0,239 230 541 824;
  • 28) 0,239 230 541 824 × 2 = 0 + 0,478 461 083 648;
  • 29) 0,478 461 083 648 × 2 = 0 + 0,956 922 167 296;
  • 30) 0,956 922 167 296 × 2 = 1 + 0,913 844 334 592;
  • 31) 0,913 844 334 592 × 2 = 1 + 0,827 688 669 184;
  • 32) 0,827 688 669 184 × 2 = 1 + 0,655 377 338 368;
  • 33) 0,655 377 338 368 × 2 = 1 + 0,310 754 676 736;
  • 34) 0,310 754 676 736 × 2 = 0 + 0,621 509 353 472;
  • 35) 0,621 509 353 472 × 2 = 1 + 0,243 018 706 944;
  • 36) 0,243 018 706 944 × 2 = 0 + 0,486 037 413 888;
  • 37) 0,486 037 413 888 × 2 = 0 + 0,972 074 827 776;
  • 38) 0,972 074 827 776 × 2 = 1 + 0,944 149 655 552;
  • 39) 0,944 149 655 552 × 2 = 1 + 0,888 299 311 104;
  • 40) 0,888 299 311 104 × 2 = 1 + 0,776 598 622 208;
  • 41) 0,776 598 622 208 × 2 = 1 + 0,553 197 244 416;
  • 42) 0,553 197 244 416 × 2 = 1 + 0,106 394 488 832;
  • 43) 0,106 394 488 832 × 2 = 0 + 0,212 788 977 664;
  • 44) 0,212 788 977 664 × 2 = 0 + 0,425 577 955 328;
  • 45) 0,425 577 955 328 × 2 = 0 + 0,851 155 910 656;
  • 46) 0,851 155 910 656 × 2 = 1 + 0,702 311 821 312;
  • 47) 0,702 311 821 312 × 2 = 1 + 0,404 623 642 624;
  • 48) 0,404 623 642 624 × 2 = 0 + 0,809 247 285 248;
  • 49) 0,809 247 285 248 × 2 = 1 + 0,618 494 570 496;
  • 50) 0,618 494 570 496 × 2 = 1 + 0,236 989 140 992;
  • 51) 0,236 989 140 992 × 2 = 0 + 0,473 978 281 984;
  • 52) 0,473 978 281 984 × 2 = 0 + 0,947 956 563 968;
  • 53) 0,947 956 563 968 × 2 = 1 + 0,895 913 127 936;
  • 54) 0,895 913 127 936 × 2 = 1 + 0,791 826 255 872;
  • 55) 0,791 826 255 872 × 2 = 1 + 0,583 652 511 744;
  • 56) 0,583 652 511 744 × 2 = 1 + 0,167 305 023 488;
  • 57) 0,167 305 023 488 × 2 = 0 + 0,334 610 046 976;
  • 58) 0,334 610 046 976 × 2 = 0 + 0,669 220 093 952;
  • 59) 0,669 220 093 952 × 2 = 1 + 0,338 440 187 904;
  • 60) 0,338 440 187 904 × 2 = 0 + 0,676 880 375 808;
  • 61) 0,676 880 375 808 × 2 = 1 + 0,353 760 751 616;
  • 62) 0,353 760 751 616 × 2 = 0 + 0,707 521 503 232;
  • 63) 0,707 521 503 232 × 2 = 1 + 0,415 043 006 464;
  • 64) 0,415 043 006 464 × 2 = 0 + 0,830 086 012 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 258(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 258(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 258(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010 =

0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010


Numărul zecimal -0,000 282 006 258 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 1010 0111 1100 0110 1100 1111 0010 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 305 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100