-0,000 282 006 261 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 261(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 261(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 261| = 0,000 282 006 261


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 261.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 261 × 2 = 0 + 0,000 564 012 522;
  • 2) 0,000 564 012 522 × 2 = 0 + 0,001 128 025 044;
  • 3) 0,001 128 025 044 × 2 = 0 + 0,002 256 050 088;
  • 4) 0,002 256 050 088 × 2 = 0 + 0,004 512 100 176;
  • 5) 0,004 512 100 176 × 2 = 0 + 0,009 024 200 352;
  • 6) 0,009 024 200 352 × 2 = 0 + 0,018 048 400 704;
  • 7) 0,018 048 400 704 × 2 = 0 + 0,036 096 801 408;
  • 8) 0,036 096 801 408 × 2 = 0 + 0,072 193 602 816;
  • 9) 0,072 193 602 816 × 2 = 0 + 0,144 387 205 632;
  • 10) 0,144 387 205 632 × 2 = 0 + 0,288 774 411 264;
  • 11) 0,288 774 411 264 × 2 = 0 + 0,577 548 822 528;
  • 12) 0,577 548 822 528 × 2 = 1 + 0,155 097 645 056;
  • 13) 0,155 097 645 056 × 2 = 0 + 0,310 195 290 112;
  • 14) 0,310 195 290 112 × 2 = 0 + 0,620 390 580 224;
  • 15) 0,620 390 580 224 × 2 = 1 + 0,240 781 160 448;
  • 16) 0,240 781 160 448 × 2 = 0 + 0,481 562 320 896;
  • 17) 0,481 562 320 896 × 2 = 0 + 0,963 124 641 792;
  • 18) 0,963 124 641 792 × 2 = 1 + 0,926 249 283 584;
  • 19) 0,926 249 283 584 × 2 = 1 + 0,852 498 567 168;
  • 20) 0,852 498 567 168 × 2 = 1 + 0,704 997 134 336;
  • 21) 0,704 997 134 336 × 2 = 1 + 0,409 994 268 672;
  • 22) 0,409 994 268 672 × 2 = 0 + 0,819 988 537 344;
  • 23) 0,819 988 537 344 × 2 = 1 + 0,639 977 074 688;
  • 24) 0,639 977 074 688 × 2 = 1 + 0,279 954 149 376;
  • 25) 0,279 954 149 376 × 2 = 0 + 0,559 908 298 752;
  • 26) 0,559 908 298 752 × 2 = 1 + 0,119 816 597 504;
  • 27) 0,119 816 597 504 × 2 = 0 + 0,239 633 195 008;
  • 28) 0,239 633 195 008 × 2 = 0 + 0,479 266 390 016;
  • 29) 0,479 266 390 016 × 2 = 0 + 0,958 532 780 032;
  • 30) 0,958 532 780 032 × 2 = 1 + 0,917 065 560 064;
  • 31) 0,917 065 560 064 × 2 = 1 + 0,834 131 120 128;
  • 32) 0,834 131 120 128 × 2 = 1 + 0,668 262 240 256;
  • 33) 0,668 262 240 256 × 2 = 1 + 0,336 524 480 512;
  • 34) 0,336 524 480 512 × 2 = 0 + 0,673 048 961 024;
  • 35) 0,673 048 961 024 × 2 = 1 + 0,346 097 922 048;
  • 36) 0,346 097 922 048 × 2 = 0 + 0,692 195 844 096;
  • 37) 0,692 195 844 096 × 2 = 1 + 0,384 391 688 192;
  • 38) 0,384 391 688 192 × 2 = 0 + 0,768 783 376 384;
  • 39) 0,768 783 376 384 × 2 = 1 + 0,537 566 752 768;
  • 40) 0,537 566 752 768 × 2 = 1 + 0,075 133 505 536;
  • 41) 0,075 133 505 536 × 2 = 0 + 0,150 267 011 072;
  • 42) 0,150 267 011 072 × 2 = 0 + 0,300 534 022 144;
  • 43) 0,300 534 022 144 × 2 = 0 + 0,601 068 044 288;
  • 44) 0,601 068 044 288 × 2 = 1 + 0,202 136 088 576;
  • 45) 0,202 136 088 576 × 2 = 0 + 0,404 272 177 152;
  • 46) 0,404 272 177 152 × 2 = 0 + 0,808 544 354 304;
  • 47) 0,808 544 354 304 × 2 = 1 + 0,617 088 708 608;
  • 48) 0,617 088 708 608 × 2 = 1 + 0,234 177 417 216;
  • 49) 0,234 177 417 216 × 2 = 0 + 0,468 354 834 432;
  • 50) 0,468 354 834 432 × 2 = 0 + 0,936 709 668 864;
  • 51) 0,936 709 668 864 × 2 = 1 + 0,873 419 337 728;
  • 52) 0,873 419 337 728 × 2 = 1 + 0,746 838 675 456;
  • 53) 0,746 838 675 456 × 2 = 1 + 0,493 677 350 912;
  • 54) 0,493 677 350 912 × 2 = 0 + 0,987 354 701 824;
  • 55) 0,987 354 701 824 × 2 = 1 + 0,974 709 403 648;
  • 56) 0,974 709 403 648 × 2 = 1 + 0,949 418 807 296;
  • 57) 0,949 418 807 296 × 2 = 1 + 0,898 837 614 592;
  • 58) 0,898 837 614 592 × 2 = 1 + 0,797 675 229 184;
  • 59) 0,797 675 229 184 × 2 = 1 + 0,595 350 458 368;
  • 60) 0,595 350 458 368 × 2 = 1 + 0,190 700 916 736;
  • 61) 0,190 700 916 736 × 2 = 0 + 0,381 401 833 472;
  • 62) 0,381 401 833 472 × 2 = 0 + 0,762 803 666 944;
  • 63) 0,762 803 666 944 × 2 = 1 + 0,525 607 333 888;
  • 64) 0,525 607 333 888 × 2 = 1 + 0,051 214 667 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 261(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 261(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 261(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011 =

0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 006 261 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 1010 1011 0001 0011 0011 1011 1111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 182 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100