-0,000 282 006 283 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 283(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 283(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 283| = 0,000 282 006 283


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 283.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 283 × 2 = 0 + 0,000 564 012 566;
  • 2) 0,000 564 012 566 × 2 = 0 + 0,001 128 025 132;
  • 3) 0,001 128 025 132 × 2 = 0 + 0,002 256 050 264;
  • 4) 0,002 256 050 264 × 2 = 0 + 0,004 512 100 528;
  • 5) 0,004 512 100 528 × 2 = 0 + 0,009 024 201 056;
  • 6) 0,009 024 201 056 × 2 = 0 + 0,018 048 402 112;
  • 7) 0,018 048 402 112 × 2 = 0 + 0,036 096 804 224;
  • 8) 0,036 096 804 224 × 2 = 0 + 0,072 193 608 448;
  • 9) 0,072 193 608 448 × 2 = 0 + 0,144 387 216 896;
  • 10) 0,144 387 216 896 × 2 = 0 + 0,288 774 433 792;
  • 11) 0,288 774 433 792 × 2 = 0 + 0,577 548 867 584;
  • 12) 0,577 548 867 584 × 2 = 1 + 0,155 097 735 168;
  • 13) 0,155 097 735 168 × 2 = 0 + 0,310 195 470 336;
  • 14) 0,310 195 470 336 × 2 = 0 + 0,620 390 940 672;
  • 15) 0,620 390 940 672 × 2 = 1 + 0,240 781 881 344;
  • 16) 0,240 781 881 344 × 2 = 0 + 0,481 563 762 688;
  • 17) 0,481 563 762 688 × 2 = 0 + 0,963 127 525 376;
  • 18) 0,963 127 525 376 × 2 = 1 + 0,926 255 050 752;
  • 19) 0,926 255 050 752 × 2 = 1 + 0,852 510 101 504;
  • 20) 0,852 510 101 504 × 2 = 1 + 0,705 020 203 008;
  • 21) 0,705 020 203 008 × 2 = 1 + 0,410 040 406 016;
  • 22) 0,410 040 406 016 × 2 = 0 + 0,820 080 812 032;
  • 23) 0,820 080 812 032 × 2 = 1 + 0,640 161 624 064;
  • 24) 0,640 161 624 064 × 2 = 1 + 0,280 323 248 128;
  • 25) 0,280 323 248 128 × 2 = 0 + 0,560 646 496 256;
  • 26) 0,560 646 496 256 × 2 = 1 + 0,121 292 992 512;
  • 27) 0,121 292 992 512 × 2 = 0 + 0,242 585 985 024;
  • 28) 0,242 585 985 024 × 2 = 0 + 0,485 171 970 048;
  • 29) 0,485 171 970 048 × 2 = 0 + 0,970 343 940 096;
  • 30) 0,970 343 940 096 × 2 = 1 + 0,940 687 880 192;
  • 31) 0,940 687 880 192 × 2 = 1 + 0,881 375 760 384;
  • 32) 0,881 375 760 384 × 2 = 1 + 0,762 751 520 768;
  • 33) 0,762 751 520 768 × 2 = 1 + 0,525 503 041 536;
  • 34) 0,525 503 041 536 × 2 = 1 + 0,051 006 083 072;
  • 35) 0,051 006 083 072 × 2 = 0 + 0,102 012 166 144;
  • 36) 0,102 012 166 144 × 2 = 0 + 0,204 024 332 288;
  • 37) 0,204 024 332 288 × 2 = 0 + 0,408 048 664 576;
  • 38) 0,408 048 664 576 × 2 = 0 + 0,816 097 329 152;
  • 39) 0,816 097 329 152 × 2 = 1 + 0,632 194 658 304;
  • 40) 0,632 194 658 304 × 2 = 1 + 0,264 389 316 608;
  • 41) 0,264 389 316 608 × 2 = 0 + 0,528 778 633 216;
  • 42) 0,528 778 633 216 × 2 = 1 + 0,057 557 266 432;
  • 43) 0,057 557 266 432 × 2 = 0 + 0,115 114 532 864;
  • 44) 0,115 114 532 864 × 2 = 0 + 0,230 229 065 728;
  • 45) 0,230 229 065 728 × 2 = 0 + 0,460 458 131 456;
  • 46) 0,460 458 131 456 × 2 = 0 + 0,920 916 262 912;
  • 47) 0,920 916 262 912 × 2 = 1 + 0,841 832 525 824;
  • 48) 0,841 832 525 824 × 2 = 1 + 0,683 665 051 648;
  • 49) 0,683 665 051 648 × 2 = 1 + 0,367 330 103 296;
  • 50) 0,367 330 103 296 × 2 = 0 + 0,734 660 206 592;
  • 51) 0,734 660 206 592 × 2 = 1 + 0,469 320 413 184;
  • 52) 0,469 320 413 184 × 2 = 0 + 0,938 640 826 368;
  • 53) 0,938 640 826 368 × 2 = 1 + 0,877 281 652 736;
  • 54) 0,877 281 652 736 × 2 = 1 + 0,754 563 305 472;
  • 55) 0,754 563 305 472 × 2 = 1 + 0,509 126 610 944;
  • 56) 0,509 126 610 944 × 2 = 1 + 0,018 253 221 888;
  • 57) 0,018 253 221 888 × 2 = 0 + 0,036 506 443 776;
  • 58) 0,036 506 443 776 × 2 = 0 + 0,073 012 887 552;
  • 59) 0,073 012 887 552 × 2 = 0 + 0,146 025 775 104;
  • 60) 0,146 025 775 104 × 2 = 0 + 0,292 051 550 208;
  • 61) 0,292 051 550 208 × 2 = 0 + 0,584 103 100 416;
  • 62) 0,584 103 100 416 × 2 = 1 + 0,168 206 200 832;
  • 63) 0,168 206 200 832 × 2 = 0 + 0,336 412 401 664;
  • 64) 0,336 412 401 664 × 2 = 0 + 0,672 824 803 328;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 283(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 283(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 283(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100 =

0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100


Numărul zecimal -0,000 282 006 283 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 1100 0011 0100 0011 1010 1111 0000 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 331 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100