-0,000 282 006 308 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 308(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 308(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 308| = 0,000 282 006 308


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 308.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 308 × 2 = 0 + 0,000 564 012 616;
  • 2) 0,000 564 012 616 × 2 = 0 + 0,001 128 025 232;
  • 3) 0,001 128 025 232 × 2 = 0 + 0,002 256 050 464;
  • 4) 0,002 256 050 464 × 2 = 0 + 0,004 512 100 928;
  • 5) 0,004 512 100 928 × 2 = 0 + 0,009 024 201 856;
  • 6) 0,009 024 201 856 × 2 = 0 + 0,018 048 403 712;
  • 7) 0,018 048 403 712 × 2 = 0 + 0,036 096 807 424;
  • 8) 0,036 096 807 424 × 2 = 0 + 0,072 193 614 848;
  • 9) 0,072 193 614 848 × 2 = 0 + 0,144 387 229 696;
  • 10) 0,144 387 229 696 × 2 = 0 + 0,288 774 459 392;
  • 11) 0,288 774 459 392 × 2 = 0 + 0,577 548 918 784;
  • 12) 0,577 548 918 784 × 2 = 1 + 0,155 097 837 568;
  • 13) 0,155 097 837 568 × 2 = 0 + 0,310 195 675 136;
  • 14) 0,310 195 675 136 × 2 = 0 + 0,620 391 350 272;
  • 15) 0,620 391 350 272 × 2 = 1 + 0,240 782 700 544;
  • 16) 0,240 782 700 544 × 2 = 0 + 0,481 565 401 088;
  • 17) 0,481 565 401 088 × 2 = 0 + 0,963 130 802 176;
  • 18) 0,963 130 802 176 × 2 = 1 + 0,926 261 604 352;
  • 19) 0,926 261 604 352 × 2 = 1 + 0,852 523 208 704;
  • 20) 0,852 523 208 704 × 2 = 1 + 0,705 046 417 408;
  • 21) 0,705 046 417 408 × 2 = 1 + 0,410 092 834 816;
  • 22) 0,410 092 834 816 × 2 = 0 + 0,820 185 669 632;
  • 23) 0,820 185 669 632 × 2 = 1 + 0,640 371 339 264;
  • 24) 0,640 371 339 264 × 2 = 1 + 0,280 742 678 528;
  • 25) 0,280 742 678 528 × 2 = 0 + 0,561 485 357 056;
  • 26) 0,561 485 357 056 × 2 = 1 + 0,122 970 714 112;
  • 27) 0,122 970 714 112 × 2 = 0 + 0,245 941 428 224;
  • 28) 0,245 941 428 224 × 2 = 0 + 0,491 882 856 448;
  • 29) 0,491 882 856 448 × 2 = 0 + 0,983 765 712 896;
  • 30) 0,983 765 712 896 × 2 = 1 + 0,967 531 425 792;
  • 31) 0,967 531 425 792 × 2 = 1 + 0,935 062 851 584;
  • 32) 0,935 062 851 584 × 2 = 1 + 0,870 125 703 168;
  • 33) 0,870 125 703 168 × 2 = 1 + 0,740 251 406 336;
  • 34) 0,740 251 406 336 × 2 = 1 + 0,480 502 812 672;
  • 35) 0,480 502 812 672 × 2 = 0 + 0,961 005 625 344;
  • 36) 0,961 005 625 344 × 2 = 1 + 0,922 011 250 688;
  • 37) 0,922 011 250 688 × 2 = 1 + 0,844 022 501 376;
  • 38) 0,844 022 501 376 × 2 = 1 + 0,688 045 002 752;
  • 39) 0,688 045 002 752 × 2 = 1 + 0,376 090 005 504;
  • 40) 0,376 090 005 504 × 2 = 0 + 0,752 180 011 008;
  • 41) 0,752 180 011 008 × 2 = 1 + 0,504 360 022 016;
  • 42) 0,504 360 022 016 × 2 = 1 + 0,008 720 044 032;
  • 43) 0,008 720 044 032 × 2 = 0 + 0,017 440 088 064;
  • 44) 0,017 440 088 064 × 2 = 0 + 0,034 880 176 128;
  • 45) 0,034 880 176 128 × 2 = 0 + 0,069 760 352 256;
  • 46) 0,069 760 352 256 × 2 = 0 + 0,139 520 704 512;
  • 47) 0,139 520 704 512 × 2 = 0 + 0,279 041 409 024;
  • 48) 0,279 041 409 024 × 2 = 0 + 0,558 082 818 048;
  • 49) 0,558 082 818 048 × 2 = 1 + 0,116 165 636 096;
  • 50) 0,116 165 636 096 × 2 = 0 + 0,232 331 272 192;
  • 51) 0,232 331 272 192 × 2 = 0 + 0,464 662 544 384;
  • 52) 0,464 662 544 384 × 2 = 0 + 0,929 325 088 768;
  • 53) 0,929 325 088 768 × 2 = 1 + 0,858 650 177 536;
  • 54) 0,858 650 177 536 × 2 = 1 + 0,717 300 355 072;
  • 55) 0,717 300 355 072 × 2 = 1 + 0,434 600 710 144;
  • 56) 0,434 600 710 144 × 2 = 0 + 0,869 201 420 288;
  • 57) 0,869 201 420 288 × 2 = 1 + 0,738 402 840 576;
  • 58) 0,738 402 840 576 × 2 = 1 + 0,476 805 681 152;
  • 59) 0,476 805 681 152 × 2 = 0 + 0,953 611 362 304;
  • 60) 0,953 611 362 304 × 2 = 1 + 0,907 222 724 608;
  • 61) 0,907 222 724 608 × 2 = 1 + 0,814 445 449 216;
  • 62) 0,814 445 449 216 × 2 = 1 + 0,628 890 898 432;
  • 63) 0,628 890 898 432 × 2 = 1 + 0,257 781 796 864;
  • 64) 0,257 781 796 864 × 2 = 0 + 0,515 563 593 728;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 308(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 308(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 308(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110 =

0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110


Numărul zecimal -0,000 282 006 308 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0111 1101 1110 1100 0000 1000 1110 1101 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 346 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100