-0,000 282 006 351 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 351(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 351(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 351| = 0,000 282 006 351


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 351.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 351 × 2 = 0 + 0,000 564 012 702;
  • 2) 0,000 564 012 702 × 2 = 0 + 0,001 128 025 404;
  • 3) 0,001 128 025 404 × 2 = 0 + 0,002 256 050 808;
  • 4) 0,002 256 050 808 × 2 = 0 + 0,004 512 101 616;
  • 5) 0,004 512 101 616 × 2 = 0 + 0,009 024 203 232;
  • 6) 0,009 024 203 232 × 2 = 0 + 0,018 048 406 464;
  • 7) 0,018 048 406 464 × 2 = 0 + 0,036 096 812 928;
  • 8) 0,036 096 812 928 × 2 = 0 + 0,072 193 625 856;
  • 9) 0,072 193 625 856 × 2 = 0 + 0,144 387 251 712;
  • 10) 0,144 387 251 712 × 2 = 0 + 0,288 774 503 424;
  • 11) 0,288 774 503 424 × 2 = 0 + 0,577 549 006 848;
  • 12) 0,577 549 006 848 × 2 = 1 + 0,155 098 013 696;
  • 13) 0,155 098 013 696 × 2 = 0 + 0,310 196 027 392;
  • 14) 0,310 196 027 392 × 2 = 0 + 0,620 392 054 784;
  • 15) 0,620 392 054 784 × 2 = 1 + 0,240 784 109 568;
  • 16) 0,240 784 109 568 × 2 = 0 + 0,481 568 219 136;
  • 17) 0,481 568 219 136 × 2 = 0 + 0,963 136 438 272;
  • 18) 0,963 136 438 272 × 2 = 1 + 0,926 272 876 544;
  • 19) 0,926 272 876 544 × 2 = 1 + 0,852 545 753 088;
  • 20) 0,852 545 753 088 × 2 = 1 + 0,705 091 506 176;
  • 21) 0,705 091 506 176 × 2 = 1 + 0,410 183 012 352;
  • 22) 0,410 183 012 352 × 2 = 0 + 0,820 366 024 704;
  • 23) 0,820 366 024 704 × 2 = 1 + 0,640 732 049 408;
  • 24) 0,640 732 049 408 × 2 = 1 + 0,281 464 098 816;
  • 25) 0,281 464 098 816 × 2 = 0 + 0,562 928 197 632;
  • 26) 0,562 928 197 632 × 2 = 1 + 0,125 856 395 264;
  • 27) 0,125 856 395 264 × 2 = 0 + 0,251 712 790 528;
  • 28) 0,251 712 790 528 × 2 = 0 + 0,503 425 581 056;
  • 29) 0,503 425 581 056 × 2 = 1 + 0,006 851 162 112;
  • 30) 0,006 851 162 112 × 2 = 0 + 0,013 702 324 224;
  • 31) 0,013 702 324 224 × 2 = 0 + 0,027 404 648 448;
  • 32) 0,027 404 648 448 × 2 = 0 + 0,054 809 296 896;
  • 33) 0,054 809 296 896 × 2 = 0 + 0,109 618 593 792;
  • 34) 0,109 618 593 792 × 2 = 0 + 0,219 237 187 584;
  • 35) 0,219 237 187 584 × 2 = 0 + 0,438 474 375 168;
  • 36) 0,438 474 375 168 × 2 = 0 + 0,876 948 750 336;
  • 37) 0,876 948 750 336 × 2 = 1 + 0,753 897 500 672;
  • 38) 0,753 897 500 672 × 2 = 1 + 0,507 795 001 344;
  • 39) 0,507 795 001 344 × 2 = 1 + 0,015 590 002 688;
  • 40) 0,015 590 002 688 × 2 = 0 + 0,031 180 005 376;
  • 41) 0,031 180 005 376 × 2 = 0 + 0,062 360 010 752;
  • 42) 0,062 360 010 752 × 2 = 0 + 0,124 720 021 504;
  • 43) 0,124 720 021 504 × 2 = 0 + 0,249 440 043 008;
  • 44) 0,249 440 043 008 × 2 = 0 + 0,498 880 086 016;
  • 45) 0,498 880 086 016 × 2 = 0 + 0,997 760 172 032;
  • 46) 0,997 760 172 032 × 2 = 1 + 0,995 520 344 064;
  • 47) 0,995 520 344 064 × 2 = 1 + 0,991 040 688 128;
  • 48) 0,991 040 688 128 × 2 = 1 + 0,982 081 376 256;
  • 49) 0,982 081 376 256 × 2 = 1 + 0,964 162 752 512;
  • 50) 0,964 162 752 512 × 2 = 1 + 0,928 325 505 024;
  • 51) 0,928 325 505 024 × 2 = 1 + 0,856 651 010 048;
  • 52) 0,856 651 010 048 × 2 = 1 + 0,713 302 020 096;
  • 53) 0,713 302 020 096 × 2 = 1 + 0,426 604 040 192;
  • 54) 0,426 604 040 192 × 2 = 0 + 0,853 208 080 384;
  • 55) 0,853 208 080 384 × 2 = 1 + 0,706 416 160 768;
  • 56) 0,706 416 160 768 × 2 = 1 + 0,412 832 321 536;
  • 57) 0,412 832 321 536 × 2 = 0 + 0,825 664 643 072;
  • 58) 0,825 664 643 072 × 2 = 1 + 0,651 329 286 144;
  • 59) 0,651 329 286 144 × 2 = 1 + 0,302 658 572 288;
  • 60) 0,302 658 572 288 × 2 = 0 + 0,605 317 144 576;
  • 61) 0,605 317 144 576 × 2 = 1 + 0,210 634 289 152;
  • 62) 0,210 634 289 152 × 2 = 0 + 0,421 268 578 304;
  • 63) 0,421 268 578 304 × 2 = 0 + 0,842 537 156 608;
  • 64) 0,842 537 156 608 × 2 = 1 + 0,685 074 313 216;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001 =

0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001


Numărul zecimal -0,000 282 006 351 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 0000 1110 0000 0111 1111 1011 0110 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 381 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100