-0,000 282 006 376 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 376(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 376(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 376| = 0,000 282 006 376


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 376.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 376 × 2 = 0 + 0,000 564 012 752;
  • 2) 0,000 564 012 752 × 2 = 0 + 0,001 128 025 504;
  • 3) 0,001 128 025 504 × 2 = 0 + 0,002 256 051 008;
  • 4) 0,002 256 051 008 × 2 = 0 + 0,004 512 102 016;
  • 5) 0,004 512 102 016 × 2 = 0 + 0,009 024 204 032;
  • 6) 0,009 024 204 032 × 2 = 0 + 0,018 048 408 064;
  • 7) 0,018 048 408 064 × 2 = 0 + 0,036 096 816 128;
  • 8) 0,036 096 816 128 × 2 = 0 + 0,072 193 632 256;
  • 9) 0,072 193 632 256 × 2 = 0 + 0,144 387 264 512;
  • 10) 0,144 387 264 512 × 2 = 0 + 0,288 774 529 024;
  • 11) 0,288 774 529 024 × 2 = 0 + 0,577 549 058 048;
  • 12) 0,577 549 058 048 × 2 = 1 + 0,155 098 116 096;
  • 13) 0,155 098 116 096 × 2 = 0 + 0,310 196 232 192;
  • 14) 0,310 196 232 192 × 2 = 0 + 0,620 392 464 384;
  • 15) 0,620 392 464 384 × 2 = 1 + 0,240 784 928 768;
  • 16) 0,240 784 928 768 × 2 = 0 + 0,481 569 857 536;
  • 17) 0,481 569 857 536 × 2 = 0 + 0,963 139 715 072;
  • 18) 0,963 139 715 072 × 2 = 1 + 0,926 279 430 144;
  • 19) 0,926 279 430 144 × 2 = 1 + 0,852 558 860 288;
  • 20) 0,852 558 860 288 × 2 = 1 + 0,705 117 720 576;
  • 21) 0,705 117 720 576 × 2 = 1 + 0,410 235 441 152;
  • 22) 0,410 235 441 152 × 2 = 0 + 0,820 470 882 304;
  • 23) 0,820 470 882 304 × 2 = 1 + 0,640 941 764 608;
  • 24) 0,640 941 764 608 × 2 = 1 + 0,281 883 529 216;
  • 25) 0,281 883 529 216 × 2 = 0 + 0,563 767 058 432;
  • 26) 0,563 767 058 432 × 2 = 1 + 0,127 534 116 864;
  • 27) 0,127 534 116 864 × 2 = 0 + 0,255 068 233 728;
  • 28) 0,255 068 233 728 × 2 = 0 + 0,510 136 467 456;
  • 29) 0,510 136 467 456 × 2 = 1 + 0,020 272 934 912;
  • 30) 0,020 272 934 912 × 2 = 0 + 0,040 545 869 824;
  • 31) 0,040 545 869 824 × 2 = 0 + 0,081 091 739 648;
  • 32) 0,081 091 739 648 × 2 = 0 + 0,162 183 479 296;
  • 33) 0,162 183 479 296 × 2 = 0 + 0,324 366 958 592;
  • 34) 0,324 366 958 592 × 2 = 0 + 0,648 733 917 184;
  • 35) 0,648 733 917 184 × 2 = 1 + 0,297 467 834 368;
  • 36) 0,297 467 834 368 × 2 = 0 + 0,594 935 668 736;
  • 37) 0,594 935 668 736 × 2 = 1 + 0,189 871 337 472;
  • 38) 0,189 871 337 472 × 2 = 0 + 0,379 742 674 944;
  • 39) 0,379 742 674 944 × 2 = 0 + 0,759 485 349 888;
  • 40) 0,759 485 349 888 × 2 = 1 + 0,518 970 699 776;
  • 41) 0,518 970 699 776 × 2 = 1 + 0,037 941 399 552;
  • 42) 0,037 941 399 552 × 2 = 0 + 0,075 882 799 104;
  • 43) 0,075 882 799 104 × 2 = 0 + 0,151 765 598 208;
  • 44) 0,151 765 598 208 × 2 = 0 + 0,303 531 196 416;
  • 45) 0,303 531 196 416 × 2 = 0 + 0,607 062 392 832;
  • 46) 0,607 062 392 832 × 2 = 1 + 0,214 124 785 664;
  • 47) 0,214 124 785 664 × 2 = 0 + 0,428 249 571 328;
  • 48) 0,428 249 571 328 × 2 = 0 + 0,856 499 142 656;
  • 49) 0,856 499 142 656 × 2 = 1 + 0,712 998 285 312;
  • 50) 0,712 998 285 312 × 2 = 1 + 0,425 996 570 624;
  • 51) 0,425 996 570 624 × 2 = 0 + 0,851 993 141 248;
  • 52) 0,851 993 141 248 × 2 = 1 + 0,703 986 282 496;
  • 53) 0,703 986 282 496 × 2 = 1 + 0,407 972 564 992;
  • 54) 0,407 972 564 992 × 2 = 0 + 0,815 945 129 984;
  • 55) 0,815 945 129 984 × 2 = 1 + 0,631 890 259 968;
  • 56) 0,631 890 259 968 × 2 = 1 + 0,263 780 519 936;
  • 57) 0,263 780 519 936 × 2 = 0 + 0,527 561 039 872;
  • 58) 0,527 561 039 872 × 2 = 1 + 0,055 122 079 744;
  • 59) 0,055 122 079 744 × 2 = 0 + 0,110 244 159 488;
  • 60) 0,110 244 159 488 × 2 = 0 + 0,220 488 318 976;
  • 61) 0,220 488 318 976 × 2 = 0 + 0,440 976 637 952;
  • 62) 0,440 976 637 952 × 2 = 0 + 0,881 953 275 904;
  • 63) 0,881 953 275 904 × 2 = 1 + 0,763 906 551 808;
  • 64) 0,763 906 551 808 × 2 = 1 + 0,527 813 103 616;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 376(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 376(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 376(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011 =

0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011


Numărul zecimal -0,000 282 006 376 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 0010 1001 1000 0100 1101 1011 0100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 321 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100